Equazione complessa

[DCLeonardo22]

Stavo risolvendo l'integrale complesso \(\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\:\frac{e^z}{4e^{4z}+1}dz\: \) e quando sono arrivato al punto di calcolarmi i suoi poli dovevo risolvere questa equazione \(\displaystyle 4e^{4z}=-1 \) che ho risolto e mi ha dato come risultato \(\displaystyle z=-\frac{1}{2}ln\left(2\right)+\frac{i}{4}\pi +\frac{1}{2}k\pi \) ma non sono certo che il risultato sia giusto , qualcuno può confermare che è corretta ? Nel caso fosse sbagliato mi potete mostrare i passaggi giusti

[gugo82]

Devi prendere un logaritmo complesso... Dunque le soluzioni sono del tipo:
\[
\begin{split}
z &= \frac{1}{4}\ \ln\left( -\frac{1}{4}\right) \\
&= \frac{1}{4}\ \left( \operatorname{Ln} \left( -\frac{1}{4}\right) + \imath\ 2k\pi \right) \\
&= \frac{1}{4}\ \left( \log \left(\frac{1}{4}\right) + \imath\ \operatorname{Arg} \left(-\frac{1}{4}\right) + \imath\ 2k\pi \right)\\
&= -\frac{1}{2}\ \log 2 + \imath\ \frac{\pi}{4} + \imath\ k \frac{\pi}{2}\\
&= -\frac{1}{2}\ \log 2 + \imath\ \frac{1+2k}{4}\ \pi\; .
\end{split}
\]

Nella tua soluzione manca un \(\imath\) da qualche parte.

[DCLeonardo22]

ah si si è vero ho omesso un \(\displaystyle i \) , ma comunque non doveva essere \(\displaystyle -1/2 ln(2) \) ?

[gugo82]

Perché $-$?

[DCLeonardo22]

Io ho fatto questo procedimento : \(\displaystyle 4e^{4z}=-1 \)
\(\displaystyle 4e^{4z}=\frac{1}{4}\cdot \left(-1\right) \)
\(\displaystyle \:4e^{4z}=2^{-2}e^{i\left(\pi +2k\pi \right)} \)
\(\displaystyle 4e^{4z}=e^{ln\left(2^{-2}\right)+i\pi +2k\pi } \)
\(\displaystyle 4e^{4z}=e^{-2ln\left(2\right)+i\pi +2k\pi i} \)
\(\displaystyle 4z=-2ln\left(2\right)+i\pi \:+2k\pi i \)
\(\displaystyle z=-\frac{1}{2}ln\left(2\right)+\frac{i\pi }{4}\:+\frac{1}{2}k\pi i \)

[gugo82]

Ok, hai ragione... Il $4$ nel $\log$ era al denominatore.
Ci va il meno.