Equazione complessa
Salve, come si risolve questo esercizio
$arg((z-2i)/(z+2i))=0$
All'inizio si dovrebbe razionalizzare e poi come si procede?
$arg((z-2i)/(z+2i))=0$
All'inizio si dovrebbe razionalizzare e poi come si procede?
Risposte
L'argomento di un numero complesso è l'angolo che individua il numero quando lo scrivi in forma goniometrica o esponenziale. Dire che l'argomento si annulla significa che il numero complesso ha parte immaginaria nulla.
Direi che, senza razionalizzare, basta porre $(z-2i)/(z+2i) = k$ con $k in RR$.
Direi che, senza razionalizzare, basta porre $(z-2i)/(z+2i) = k$ con $k in RR$.
Ciao @melia,
lo penso anche io, ma k non dovrebbe essere anche positivo, voglio dire se k fosse negativo, l'argomento sarebbe 180°, o sbaglio?
lo penso anche io, ma k non dovrebbe essere anche positivo, voglio dire se k fosse negativo, l'argomento sarebbe 180°, o sbaglio?
E dopo averlo posto uguale a k??? L'esercizio chiede anche di rappresentare le soluzioni nel piano complesso
premetto che @melia la sa più lunga di me, quindi spero che torni ad intervenire per confermare o smentire quanto dico.
Dobbiamo fare in modo che nel nostro rapporto $(z-2i)/(z+2i)$ una volta sostituita la z con un numero complesso (anche solo immaginario o anche solo reale) la parte immaginaria sparisca/si semplifichi in modo da ottenere un numero reale e basta, come possiamo fare?
Dobbiamo fare in modo che nel nostro rapporto $(z-2i)/(z+2i)$ una volta sostituita la z con un numero complesso (anche solo immaginario o anche solo reale) la parte immaginaria sparisca/si semplifichi in modo da ottenere un numero reale e basta, come possiamo fare?
Hai ragione Giovanna, $k in RR^+$
Ciao Sara,
sembra che mimmo abbia perso interesse per l'esercizio, però vorrei comunque darne la soluzione, dimmi se è corretta
i numeri complessi che soddisfano la condizione sono tutti quelli che si trovano sull'asse immaginario e sono maggiori o uguali a $+2i$ o minori di $-2i$, quindi per rappresentare le soluzioni sul piano complesso colorerei il semiasse degli immaginari da $+2i$ in su facendo un pallino pieno su $+2i$ e colorerei da $-2i$ in giù facendo un pallino vuoto su $-2i$.
Is it right?
sembra che mimmo abbia perso interesse per l'esercizio, però vorrei comunque darne la soluzione, dimmi se è corretta
i numeri complessi che soddisfano la condizione sono tutti quelli che si trovano sull'asse immaginario e sono maggiori o uguali a $+2i$ o minori di $-2i$, quindi per rappresentare le soluzioni sul piano complesso colorerei il semiasse degli immaginari da $+2i$ in su facendo un pallino pieno su $+2i$ e colorerei da $-2i$ in giù facendo un pallino vuoto su $-2i$.
Is it right?
No non ho perso interesse, leggo con attenzione ogni commento aspettando la conferma definitiva del modo di procedere. Grazie a tutti gli intervenuti 
Il numero complesso lo si ricava dall'espressione dell'argomento dello stesso:
\(\displaystyle \frac{z-2i}{z+2i} \)
Questo è un rapporto tra due numeri complessi, in questo caso uno il coniugato dell'altro. Per risolverlo basta moltiplicare sopra e sotto per il coniugato del denominatore ottenendo il numero complesso nella forma algebrica
\(\displaystyle a+bi \)
A questo punto l'argomento è
\(\displaystyle \arctan \left(\frac{b}{a}\right) \)
Che deve essere uguale a zero, quindi
\(\displaystyle \arctan \left(\frac{b}{a}\right)=0 \)
Equivale a risolvere la seguente equazione
\(\displaystyle \frac{b}{a}=0 \quad \to \quad b=0\)
Sostituendo $b$ risolvi l'equazione rispetto a $z$ ed ottieni il numero complesso.
\(\displaystyle \frac{z-2i}{z+2i} \)
Questo è un rapporto tra due numeri complessi, in questo caso uno il coniugato dell'altro. Per risolverlo basta moltiplicare sopra e sotto per il coniugato del denominatore ottenendo il numero complesso nella forma algebrica
\(\displaystyle a+bi \)
A questo punto l'argomento è
\(\displaystyle \arctan \left(\frac{b}{a}\right) \)
Che deve essere uguale a zero, quindi
\(\displaystyle \arctan \left(\frac{b}{a}\right)=0 \)
Equivale a risolvere la seguente equazione
\(\displaystyle \frac{b}{a}=0 \quad \to \quad b=0\)
Sostituendo $b$ risolvi l'equazione rispetto a $z$ ed ottieni il numero complesso.
ciao Campion,
non ho capito granché
quale equazione con $b=0$ devo risolvere?
non ho capito granché
quale equazione con $b=0$ devo risolvere?
@CaMpION: $z-2i$ non è il coniugato di $z+2i$. Sarebbe cosí come dici solo se $z$ fosse reale.
Ammettendo poi di scrivere il tutto come $a+ib$, per richiedere che tale numero abbia argomento nullo si deve imporre che sia reale positivo, cioè che sia: $b=0$ e $a>0$.
Ammettendo poi di scrivere il tutto come $a+ib$, per richiedere che tale numero abbia argomento nullo si deve imporre che sia reale positivo, cioè che sia: $b=0$ e $a>0$.
A me come soluzione viene $z= iy$, con $y in (-oo,-2) uu (2,+oo)$
Ho posto $z= x+iy$, ho sostituito nell'espressione $(z-2i)/(z+2i)$, poi ho moltiplicato sopra e sotto per il coniugato del denominatore ottenendo una nuova frazione, in cui il denominatore è un numero reale positivo, e il numeratore è un numero complesso.
Poichè questa frazione deve avere argomento nullo, la parte immaginaria del numeratore deve essere $0$ e la parte reale deve essere positiva.
Ho posto $z= x+iy$, ho sostituito nell'espressione $(z-2i)/(z+2i)$, poi ho moltiplicato sopra e sotto per il coniugato del denominatore ottenendo una nuova frazione, in cui il denominatore è un numero reale positivo, e il numeratore è un numero complesso.
Poichè questa frazione deve avere argomento nullo, la parte immaginaria del numeratore deve essere $0$ e la parte reale deve essere positiva.
forse però,per rendere meno laboriosi i calcoli è meglio accogliere il suggerimento di melia e gio73
$(z-2i)/(z+2i)=k$ con $k>0,k ne 1$
$z-2i=k(z+2i)$ chè dà la soluzione
$z=(2(k+1))/(1-k)i$
$(z-2i)/(z+2i)=k$ con $k>0,k ne 1$
$z-2i=k(z+2i)$ chè dà la soluzione
$z=(2(k+1))/(1-k)i$
Sono d'accordo con stormy sull'alleggerire i calcoli, in ogni caso la condizione $k>0$ comporta la soluzione citata da Gi8, $Im{z}<-2 " vel " Im{z}>2$.
EDIT: @Palliit, non l'avevo letto xD
"stormy":
forse però,per rendere meno laboriosi i calcoli è meglio accogliere il suggerimento di melia e gio73
$(z-2i)/(z+2i)=k$ con $k>0,k ne 1$
$z-2i=k(z+2i)$ chè dà la soluzione
$z=(2(k+1))/(1-k)i$
"Palliit":Non mi pare immediato dimostrare che $z=(2(k+1))/(1-k) i ,\ k>0=> z= iy ,\ y in (-oo,-2) uu (2,+oo)$. Sbaglio?
Sono d'accordo con stormy sull'alleggerire i calcoli, in ogni caso la condizione $k>0$ comporta la soluzione citata da Gi8, $Im{z}<-2 " vel " Im{z}>2$.
edit:no, in realtà c'è una strada veloce.
Basta porre $(2(k+1))/(1-k) =y$, ricavare $k$ ottenendo $k=(y-2)/(y+2)$ e, siccome $k>0 ^^ k !=1$, porre $(y-2)/(y+2) >0$ che tanto $(y-2)/(y+2) !=1$ lo è sempre.
Ok ho capito grazie a tutti 
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