Equazione complessa

[Migno1]

Ciao, ho un problema con un'equazione di secondo grado in \(\displaystyle \mathbb{C} \). L'equazione è:

\(\displaystyle z^{2}-z+1+i=0 \).
Per prima cosa cerco le radici, che sono \(\displaystyle z_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{-3-4i}}{2} \) risolvo quindi \(\displaystyle (a+bi)^2=-3-4i \) come
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
a^2-b^2=-3 & \\
ab=-2 &
\end{matrix}\right. \)

da qui ricavo il valore di a e di b ottenendo 8 soluzioni, 4 per a e 4 per b. Consultando la soluzione di questo esercizio la mia prof ne sceglie solo una, non ne capisco il motivo. In questo caso la soluzione è \(\displaystyle a + bi = \pm{(1-2i)} \) da cui le soluzioni dell'equazione dice essere $z = i$ e $ z = 1−i $


Qualcuno sa come sceglie queste soluzioni? Grazie in anticipo

[stormy1]

hai mai sentito parlare del teorema fondamentale dell'algebra?

[Migno1]

Sì, il mio problema infatti non è il numero delle soluzioni, solo il modo in cui vengono scelte, non credo si sia affidata al caso.

[stormy1]

ma le soluzioni non si scelgono
l'equazione ha solo 2 soluzioni
questo dice il teorema fondamentale dell'algebra

le soluzioni sono $(1+z_1)/2,(1+z_2)/2$ con $z_1,z_2$ radici quadrate di $-3-4i$

$z_1=1-2i$
$z_2=-1+2i$

[Migno1]

Grazie mille