Equazione coi numeri complessi
Salve, riporto un esercizio col quale ho qualche difficoltà. Avendo l'equazione $2z+i|z|=8-i$ dire quante sono le soluzioni in campo complesso. Dopo aver sostituito $z$ e $|z|$ con $x+iy$ e $sqrt(x^2+y^2)$ non so come continuare ed eliminare la radice. Mi potreste aiutare ?
Risposte
Perché devi eliminare la radice? Il procedimento che stai seguendo conduce alla soluzione. Una volta rimpiazzati $z$ e $|z|$ con le loro espressioni esplicite e tenuto conto che $x, y\in\mathbb{R}$, l'equazione diventa
$2(x+i y)+i\sqrt{x^2+y^2}=8-i$
da cui esplicitando parte reale e parte immaginaria del primo membro ricaviamo l'equazione
$2x+i(2y+\sqrt{x^2+y^2})=8-i$
Ricorda che due numeri complessi coincidono se e solo se hanno sia la stessa parte reale, sia la stessa parte immaginaria: questo principio di identità consente di scrivere il sistema
\begin{cases}2x=8 \\ 2y+\sqrt{x^2+y^2}=-1\end{cases}
Calcola $x$ dalla prima equazione e sostituisci nella seconda che diventa una semplice equazione irrazionale nell'incognita reale $y$.
$2(x+i y)+i\sqrt{x^2+y^2}=8-i$
da cui esplicitando parte reale e parte immaginaria del primo membro ricaviamo l'equazione
$2x+i(2y+\sqrt{x^2+y^2})=8-i$
Ricorda che due numeri complessi coincidono se e solo se hanno sia la stessa parte reale, sia la stessa parte immaginaria: questo principio di identità consente di scrivere il sistema
\begin{cases}2x=8 \\ 2y+\sqrt{x^2+y^2}=-1\end{cases}
Calcola $x$ dalla prima equazione e sostituisci nella seconda che diventa una semplice equazione irrazionale nell'incognita reale $y$.
Grazie, la risposta è "una sola soluzione" ma ho un dubbio. Alla fine ottengo $x=4$ e ma sostituendo nella seconda equazione $sqrt(y^2)$ non dovrei sostituirlo con $+-y$ e quindi ottenere due possibili valori di $y$ ovvero due soluzioni ?
Perdonami, ma non ho capito la domanda. Mi fai vedere come riscrivi la seconda equazione del sistema una volta sostituito $x$?
(In generale per ogni $y\in\mathbb{R}$ si ha che $\sqrt{y^2}=|y|$, ma non capisco come possa esserti utile questa uguaglianza in questo esercizio particolare).
(In generale per ogni $y\in\mathbb{R}$ si ha che $\sqrt{y^2}=|y|$, ma non capisco come possa esserti utile questa uguaglianza in questo esercizio particolare).
Una volta sostituito $x=4$ nella seconda equazione ottengo $2y+sqrt(16+y^2)=-1$ ma non posso scrivere $sqrt(16+y^2)$ come $4+y$ . Questo intendo
No, in generale la radice di una somma non può essere spezzata come somma delle radici degli addendi. Attenzione: questo è un errore da penna rossa, blu, viola, gialla, verde... 
Per risolvere $2y+\sqrt{16+y^2}=-1$ avvaliti della teoria delle equazioni irrazionali (se non te la ricordi, ripassala e sfrutta questo esercizio per capire se hai acquisito il metodo).
Per risolvere $2y+\sqrt{16+y^2}=-1$ avvaliti della teoria delle equazioni irrazionali (se non te la ricordi, ripassala e sfrutta questo esercizio per capire se hai acquisito il metodo).
Sono andato a rivederla ed ho risolto, grazie mille ancora !
Ciao davide.fede,
Rivedere la teoria delle equazioni irrazionali come ti ha suggerito Mathita certamente male non ti ha fatto, ma l'equazione irrazionale proposta si può risolvere "a vista" semplicemente ragionando un po':
$ 2y+\sqrt{16+y^2}=-1 $
Dato che la radice è positiva è evidente che affinché il risultato sia $- 1 $ deve essere $y < 0 $. Poi la quantità sotto radice deve essere un quadrato perfetto, e siccome la terna pitagorica $(3, 4, 5) $ è una delle primissime che vengono in mente, si trova subito $y = - 3 $
In definitiva l'unica soluzione dell'equazione $ 2z+i|z|=8-i $ proposta è $z_1 = 4 - 3i $
Rivedere la teoria delle equazioni irrazionali come ti ha suggerito Mathita certamente male non ti ha fatto, ma l'equazione irrazionale proposta si può risolvere "a vista" semplicemente ragionando un po':
$ 2y+\sqrt{16+y^2}=-1 $
Dato che la radice è positiva è evidente che affinché il risultato sia $- 1 $ deve essere $y < 0 $. Poi la quantità sotto radice deve essere un quadrato perfetto, e siccome la terna pitagorica $(3, 4, 5) $ è una delle primissime che vengono in mente, si trova subito $y = - 3 $
In definitiva l'unica soluzione dell'equazione $ 2z+i|z|=8-i $ proposta è $z_1 = 4 - 3i $
Mi complimento per l'occhio, pilloeffe! C'è solo un punto del tuo ragionamento che mi sfugge
Perché dev'essere un quadrato perfetto?
Grazie.
"pilloeffe":
...Poi la quantità sotto radice deve essere un quadrato perfetto...
Perché dev'essere un quadrato perfetto?
Grazie.
"Mathita":
Mi complimento per l'occhio, pilloeffe!
Grazie!
"Mathita":
C'è solo un punto del tuo ragionamento che mi sfugge [...] Perché dev'essere un quadrato perfetto?
Beh, questa parte in realtà non è mandatoria, ma dato che a destra dell'uguale c'è il numero $- 1 \in \ZZ $, la cosa più semplice da pensare è che tale numero sia dato dalla somma di numeri interi. In pratica si cercano prima soluzioni in $\ZZ $: siccome se la soluzione è in $\ZZ \implies 2y \in \ZZ $ allora anche il risultato della radice deve essere un numero intero positivo e quindi la quantità sotto radice deve essere un quadrato perfetto.
Tutto chiaro, ti ringrazio!
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