Equazione coi complessi
Buonasera, avrei bisogno di un aiuto con la seguente equazione
$ z^3 - Re(z) = 11i $
di cui conosco già una soluzione grazie a un punto precedente dell'esercizio, cioè 2+i.
Come ricavo le altre 2?
$ z^3 - Re(z) = 11i $
di cui conosco già una soluzione grazie a un punto precedente dell'esercizio, cioè 2+i.
Come ricavo le altre 2?
Risposte
Giusto, non è detto siano 3.
Ho provato a sostituire $ z=x+iy $ , ma i calcoli mi hanno portato a un sistema con due equazioni, di cui una è $ x^3-y^3-3xy^2-x=0 $ e l'altra è $ 3x^2y=11 $ ... e non saprei come andare avanti...
Ho provato a sostituire $ z=x+iy $ , ma i calcoli mi hanno portato a un sistema con due equazioni, di cui una è $ x^3-y^3-3xy^2-x=0 $ e l'altra è $ 3x^2y=11 $ ... e non saprei come andare avanti...
Hai ragione, viene così... ora non so se sono le troppe ore a studiare che mi hanno mandato in fumo, ma non riesco come risolverle $x^3-3xy^2-x=0$ e $-y^3+3xy^2-11=0$ ...
Ciao marcobj99,
L'equazione proposta è la seguente:
$ z^3 - Re(z) = 11i $
Scrivendo $z = x + iy $ si ha subito $(x + iy)^3 = x + 11i $ e quindi
$x^3 + 3ix^2y - 3x y^2 - iy^3 = x + 11i $
da cui le due equazioni seguenti:
$x^3 - 3x y^2 - x = 0 $
$ - y^3 + 3x^2 y - 11 = 0 $
Dalla prima equazione raccogliendo $x$ si ha:
$x(x^2 - 3y^2 - 1) = 0 $
Per il principio di annullamento del prodotto dal primo fattore si ha $x = 0 $ che, inserito nella seconda equazione, fornisce subito $y = - root[3]{11} $; pertanto la prima soluzione è $z_1 = x_1 + iy_1 = 0 - i root[3]{11} $
Dal secondo fattore invece si ha $x^2 = 3y^2 + 1 $ che, inserito nella seconda equazione, fornisce l'equazione seguente:
$- y^3 + 3y(3y^2 + 1) - 11 = 0 $
$ y^3 - 9y^3 - 3y + 11 = 0 $
$- 8y^3 - 3y + 11 = 0 $
$8y^3 + 3y = 11 $
Si vede quasi subito che l'unica soluzione reale di quest'ultima equazione è $y = 1 \implies x^2 = 3 + 1 = 4 \implies x_{2,3} =\pm 2 $
Concludendo, le tre soluzioni dell'equazione proposta sono le seguenti:
$z_1 = x_1 + iy_1 = 0 - i root[3]{11} $
$z_2 = x_2 + iy_2 = 2 + i $
$z_3 = x_3 + iy_3 = - 2 + i $
L'equazione proposta è la seguente:
$ z^3 - Re(z) = 11i $
Scrivendo $z = x + iy $ si ha subito $(x + iy)^3 = x + 11i $ e quindi
$x^3 + 3ix^2y - 3x y^2 - iy^3 = x + 11i $
da cui le due equazioni seguenti:
$x^3 - 3x y^2 - x = 0 $
$ - y^3 + 3x^2 y - 11 = 0 $
Dalla prima equazione raccogliendo $x$ si ha:
$x(x^2 - 3y^2 - 1) = 0 $
Per il principio di annullamento del prodotto dal primo fattore si ha $x = 0 $ che, inserito nella seconda equazione, fornisce subito $y = - root[3]{11} $; pertanto la prima soluzione è $z_1 = x_1 + iy_1 = 0 - i root[3]{11} $
Dal secondo fattore invece si ha $x^2 = 3y^2 + 1 $ che, inserito nella seconda equazione, fornisce l'equazione seguente:
$- y^3 + 3y(3y^2 + 1) - 11 = 0 $
$ y^3 - 9y^3 - 3y + 11 = 0 $
$- 8y^3 - 3y + 11 = 0 $
$8y^3 + 3y = 11 $
Si vede quasi subito che l'unica soluzione reale di quest'ultima equazione è $y = 1 \implies x^2 = 3 + 1 = 4 \implies x_{2,3} =\pm 2 $
Concludendo, le tre soluzioni dell'equazione proposta sono le seguenti:
$z_1 = x_1 + iy_1 = 0 - i root[3]{11} $
$z_2 = x_2 + iy_2 = 2 + i $
$z_3 = x_3 + iy_3 = - 2 + i $
Grazie mille, ma non mi è chiaro perchè si consideri solo una soluzione di $cbrt(11)$ (quella reale) e non le altre 2 complesse...
"marcobj99":
Grazie mille
Prego!
"marcobj99":
ma non mi è chiaro perchè si consideri solo [...] quella reale e non le altre 2 complesse...
Perché $y $ è un numero reale: ricorda che $z = x + iy $ ove $x$ e $y$ sono numeri reali...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo