Equazione campo complessi
Ciao a tutti ragazzi! 
Qualcuno può darmi qualche indicazione sul metodo che bisogna adottare per risolvere questo tipo di equazioni? So svolgere tutte le operazioni coi numeri complessi e so ricavarne le radici, non riesco proprio a capire come risolvere questo tipo di equazioni.
Vi ringrazio anticipatamente.
$z^3(\bar z)+3z^2=4$
Qualcuno può darmi qualche indicazione sul metodo che bisogna adottare per risolvere questo tipo di equazioni? So svolgere tutte le operazioni coi numeri complessi e so ricavarne le radici, non riesco proprio a capire come risolvere questo tipo di equazioni.
Vi ringrazio anticipatamente.
$z^3(\bar z)+3z^2=4$
Risposte
Si ha $z^2 (z*barz +3)=4=> z^2 = 4/(z*barz +3)$.
Dato che $z*barz = |z|^2 in RR^+$, si ha che $z^2 in RR$.
Dato che $z*barz = |z|^2 in RR^+$, si ha che $z^2 in RR$.
Ho provato a risolverlo in questo modo ma con scarsi risultati 
$z^2(|z|^2+3)=4$
$z^2=4/(|z|^2+3)$
$x^2+2ixy-y^2=4/(x^2+y^2+3)$
$\{(x^2-y^2-(4/(x^2+y^2+3))=0),(2ixy=0):}$
Poi non so più come procedere
$z^2(|z|^2+3)=4$
$z^2=4/(|z|^2+3)$
$x^2+2ixy-y^2=4/(x^2+y^2+3)$
$\{(x^2-y^2-(4/(x^2+y^2+3))=0),(2ixy=0):}$
Poi non so più come procedere
"Gi8":
Si ha $z^2 (z*barz +3)=4=> z^2 = 4/(z*barz +3)$.
Dato che $z*barz = |z|^2 in RR^+$, si ha che $z^2 in RR$.
Quindi basta affermare che appartiene ad $RR$? Pensavo bisognasse pervenire a una soluzione precisa e infatti non capivo come. Ti ringrazio allora!
No, fermo. Una volta affermato che $z^2$ è necessariamente un numero reale, non abbiamo terminato.
Il mio voleva essere un aiuto per arrivare alla soluzione.
Tra l'altro, coi tuoi conti (che sono corretti) si arriva esattamente alla mia stessa conclusione:
deve valere $x=0$ oppure $y=0$.
Se $y=0$ allora $z =x $ (numero reale puro), e l'equazione di partenza diventa $x^4+3x^2=4$.
Se $x=0$ allora $z= iy$ (numero immaginario puro), e si ha
1) $z^3 *barz = (iy)^3 *(-iy)= -i y^3 * (-iy)= -y^4$;
2) $z^2 = (iy)^2 = -y^2$
quindi l'equazione di partenza diventa $-y^4-3y^2 = 4$
Il mio voleva essere un aiuto per arrivare alla soluzione.
Tra l'altro, coi tuoi conti (che sono corretti) si arriva esattamente alla mia stessa conclusione:
deve valere $x=0$ oppure $y=0$.
Se $y=0$ allora $z =x $ (numero reale puro), e l'equazione di partenza diventa $x^4+3x^2=4$.
Se $x=0$ allora $z= iy$ (numero immaginario puro), e si ha
1) $z^3 *barz = (iy)^3 *(-iy)= -i y^3 * (-iy)= -y^4$;
2) $z^2 = (iy)^2 = -y^2$
quindi l'equazione di partenza diventa $-y^4-3y^2 = 4$
Ah già!! Sostituivo contemporaneamente x ed y=0! Grazie infinite
Prego, figurati.
Che soluzioni ti vengono?
Che soluzioni ti vengono?
Ottengo che
$\{(x=0), (y^4+3y^2+4=0):}$
$y^2=(-3+-sqrt(-7))/2$
calcolo la $sqrt(-7)$
_________________________________________________
$r=7$, $cosx=-1$, $senx=0$, $x=\pi$
$k=0$ $->$ $sqrt(-7)[cos ((\pi)/2)+i sen((\pi)/2)]= sqrt(7)i$
$k=1$ $->$ $-sqrt(7)i$
_________________________________________________
per avere y allora devo calcolare le radici di
$-3/2+(sqrt(7)/2)i$
e
$-3/2-(sqrt(7)/2)i$
da cui ottengo dei valori "strani" degli angoli, nel senso non noti come $138,5°$ e mi sono bloccato...
$\{(x=0), (y^4+3y^2+4=0):}$
$y^2=(-3+-sqrt(-7))/2$
calcolo la $sqrt(-7)$
_________________________________________________
$r=7$, $cosx=-1$, $senx=0$, $x=\pi$
$k=0$ $->$ $sqrt(-7)[cos ((\pi)/2)+i sen((\pi)/2)]= sqrt(7)i$
$k=1$ $->$ $-sqrt(7)i$
_________________________________________________
per avere y allora devo calcolare le radici di
$-3/2+(sqrt(7)/2)i$
e
$-3/2-(sqrt(7)/2)i$
da cui ottengo dei valori "strani" degli angoli, nel senso non noti come $138,5°$ e mi sono bloccato...
"piergiorgiof":
$\{(x=0), (y^4+3y^2+4=0):}$
Ti sei perso in un bicchiere d'acqua. Tieni presente che $x$ e $y$ sono numeri reali, non complessi.
Quindi l'equazione $y^4+3y^2+4=0$ va risolta in $RR$.
E si può notare subito che non ha soluzioni dal momento che $y^4+3y^2+4$ è sempre positivo.
Attenzione : sia $x $ che $y $ sono numeri reali !!
SPLASH! Il caldo mi da alla testa 
Quindi è "accettabile" solo $x=+-1$
$z=+-1$ è la soluzione?
Quindi è "accettabile" solo $x=+-1$
$z=+-1$ è la soluzione?
Sì, la soluzione è quella
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