Equazione biquadratica nel campo complesso
stavo faendo un pò di esercizi sui numeri complessi e mi sono imbattutto in questo esercizio:
$z^4-2*i*z^2-1=(1+i)^2$
ok essendo biqadratica ho posto $z^2$=t e così diventa $t^2-2*i*t^2-1=(1+i)^2$
calcolo le possibili radici dell'equazione $t^2-2*i*t^2-1$ secondo la formula del $\Delta$ $t = \frac{2*i \pm \sqrt{(-2*i)^2 - 4*1*(-1)}}{2}$. ma in questo caso il discriminante è uguale a 0 allora esiste una sola soluzione che nel caso è t=i.
mi ricordo da prima che t=$z^2$ quindi $z^2$=i e z=$sqrt(i)$ e trovo le due radici di i e poi non so più che fare...chi mi può dare una mano??
$z^4-2*i*z^2-1=(1+i)^2$
ok essendo biqadratica ho posto $z^2$=t e così diventa $t^2-2*i*t^2-1=(1+i)^2$
calcolo le possibili radici dell'equazione $t^2-2*i*t^2-1$ secondo la formula del $\Delta$ $t = \frac{2*i \pm \sqrt{(-2*i)^2 - 4*1*(-1)}}{2}$. ma in questo caso il discriminante è uguale a 0 allora esiste una sola soluzione che nel caso è t=i.
mi ricordo da prima che t=$z^2$ quindi $z^2$=i e z=$sqrt(i)$ e trovo le due radici di i e poi non so più che fare...chi mi può dare una mano??
Risposte
Non vorrei darti un dispiacere, ma i coefficienti dell'equazione in $t$ che hai scritto sono
[tex]$a=1,\qquad b=-2i,\qquad c=-1-(1+i)^2$[/tex]
per cui il discriminante non viene zero!
[tex]$a=1,\qquad b=-2i,\qquad c=-1-(1+i)^2$[/tex]
per cui il discriminante non viene zero!
Il primo membro lo puoi scrivere come $(z^2 - i)^2$ quindi hai $(z^2 -i)^2 - (1+i)^2 = 0$ vedo una differenza di quadrati e quindi $(z^2-i + 1 + i)(z^2 -i -1 -i)=0$ ora bisogna risolvere due equazioni di secondo grado, la prima $z^2 +1 = 0$ e $z^2-(2i +1) = 0$, quindi le soluzioni della prima sono $+i$ e $-i$, della seconda $\sqrt(5) e^{i (atan(2))/2}$ e $\sqrt(5) e^{i (atan(2))/2 + i\pi}$
"Ska":
Il primo membro lo puoi scrivere come $(z^2 - i)^2$ quindi hai $(z^2 -i)^2 - (1+i)^2 = 0$ vedo una differenza di quadrati e quindi $(z^2-i + 1 + i)(z^2 -i -1 -i)=0$ ora bisogna risolvere due equazioni di secondo grado, la prima $z^2 +1 = 0$ e $z^2-(2i +1) = 0$, quindi le soluzioni della prima sono $+i$ e $-i$, della seconda $\sqrt(5) e^{i (atan(2))/2}$ e $\sqrt(5) e^{i (atan(2))/2 + i\pi}$
però mi sembra che hai fatto un errore in $(Z^2-i)^2$ viene $z^4+2*z^2*i+1$ e non $z^4-2*z^2*i-1$ che sarebbe la mia equazione iniziale che per ottenerla sarebbe $(-Z^2+i)^2$...beh a parte questo rifaccio i conti seguendo il tuo procedimento e queste quattro sarebbero le 4 soluzioni della mia equazione iniziale in z giusto?
$(z^2-i)^2=(z^2-i)(z^2-i)=z^4-iz^2-iz^2+i^2=z^4-2iz-1$
"@melia":
$(z^2-i)^2=(z^2-i)(z^2-i)=z^4-iz^2-iz^2+i^2=z^4-2iz-1$
beh se io provo a svolgere il quadrato secondo la formula viene diverso...comunque non è questo che mi interessa mi interessa sapere se le 4 soluzioni $+i$ e $-i$ , $\sqrt(5) e^{i (atan(2))/2}$ e $\sqrt(5) e^{i (atan(2))/2 + i\pi}$ sono le quattro soluzioni della mia equazione di quarto grado
Allora sviluppo il quadrato secondo la formula $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$
$(z^2-i)^2=(z^2)^2-2*z^2*i+i^2==z^4-2iz-1$
Oppure secondo la formula $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
$(z^2-i)^2=(z^2+(-i))^2=(z^2)^2+2*z^2*(-i)+(-i)^2=z^4-2iz-1$
$(z^2-i)^2=(z^2)^2-2*z^2*i+i^2==z^4-2iz-1$
Oppure secondo la formula $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
$(z^2-i)^2=(z^2+(-i))^2=(z^2)^2+2*z^2*(-i)+(-i)^2=z^4-2iz-1$
"@melia":
Allora sviluppo il quadrato secondo la formula $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$
$(z^2-i)^2=(z^2)^2-2*z^2*i+i^2==z^4-2iz-1$
Oppure secondo la formula $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
$(z^2-i)^2=(z^2+(-i))^2=(z^2)^2+2*z^2*(-i)+(-i)^2=z^4-2iz-1$
che sbadato non consideravo il - ....ma le 4 soluzioni trovate sono le 4 soluzioni della mia equazione vero?
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