Equazione ambito complesso

[gugione]

ciao,

sono in crisi con questa equazione da risolvere in ambito complesso:

$z^4 = (2+i)^4$

scartata immediatamente la sostituzione via forma algebrica (troppi conti che sicuramente non penserei di fare all'esame), ho pensato alla forma trigonometrica.

$\rho^4e^(4i\theta) = (2+i)^4$

il problema é che qui mi blocco...non capisco se devo per forza svolgere i conti (ma come proseguire dopo?) oppure se c'é un modo piu semplice per svolgere il tutto.
Grazie

[quantunquemente]

l'esercizio consiste nel trovare le 4 radici quarte del numero $z=(2+i)^4$ (tra le quali c'è ovviamente lo stesso $2+i$)
metti $z$ in forma trigonometrica ed applica la ben nota formula

[axpgn]

Essendo appunto le soluzioni delle radici quarte saranno sfasate di un angolo retto e siccome la prima è $2+i$ le altre saranno $2i-1$, $-2-i$ e $1-2i$ senza fare tanti calcoli ... almeno credo ...

[gugione]

io ho pensato la stessa cosa:
calcolare la potenza quarta di z tramite la formula di de movre e poi calcolare la radice quarta. Ma il problema é che il modulo di z mi viene uguale a $sqrt(5)$ e ciò rende difficile lavorare con gli angoli...
Ecco perché avevo cambiato strada
voi cosa dite?

[axpgn]

Basta leggere quello che abbiamo scritto ...

Comunque non è che un modulo pari a $sqrt(5)$ sia un grosso problema ...

[gugione]

Ma scusa...non sono un genio e non riesco a capire.
Ti pongo il mio procedimento (come farei all'esame):

$z^4 = (2+i)^4$

uso De Movre.
calcolo il modulo di z che è pari a $sqrt(5)$
$cos(\alfa) = 2/sqrt(5)$
$sen(\alfa) = 1/sqrt(5)$ Come ricavo alfa se non è un angolo noto?

Ho capito che bisogna portare il tutto in forma trigonometrica...ma io mi blocco qui e non so più come andare avanti

Il metodo di axpgn non lo capisco e quindi non l'ho usato...preferisco maggiormente la soluzione de morve + ricerca delle radici (se possibile).

Grazie per l'eventuale spiegazione