Equazione ambito complesso
Ciao a tutti,
mi sto preparando all'orale di analisi correggendo gli esercizi che penso di aver sbagliato
E volevo saper, gentilmente, se secondo voi va bene come ho risolto e sono giunto al risultato con questa eq.complessa
$z^2 * $ z(coniugato) $= -sqrt(3) + i$
Ho proseguito per via algebrica
$(a + ib)^2(a-ib) = -sqrt(3) + i$
tralascio i conti...e ottengo
$a^3 + a^2ib + ab^2 + ib^3 = -sqrt(3) + i$
faccio sistema distinguendo la parte reale da quella immaginaria..ottengo 2 equazioni!!
1) $a^3 + ab^2 = -sqrt(3)$
2) $a^2b + b^3 = 1$
raccolgo in entrame le equazioni:
1) $a(a^2 + b^2) = -sqrt(3)$
2) $b(a^2 + b^2) = 1$
ho scelto: $(a^2 + b^2) = 1/b$ e sostituito il tutto nella prima eq.
$a*(1/b) = - sqrt(3)$
$(a/b) = -sqrt(3)$
$a = -sqrt(3)b$
"ributto tutto nella prima equazione"
$-sqrt(3)b(3b + b^2) = -sqrt(3)$
$-3b^2 - b^3 = 1$
Ottengo:
$b^2 = 1$
$b = -4$
Da cui ricavo
$a = -sqrt(3)$ per b = 1
$a = sqrt(3)$ per b = -1
$a = 4sqrt(3)$ per b = -4
Cosa ne dite? Durante il compito ho ottenuto risultati stranissimi e sbagliati, qui invece 3 soluzioni.
Secondo voi è corretto lo svolgimento?
Grazie
mi sto preparando all'orale di analisi correggendo gli esercizi che penso di aver sbagliato
E volevo saper, gentilmente, se secondo voi va bene come ho risolto e sono giunto al risultato con questa eq.complessa
$z^2 * $ z(coniugato) $= -sqrt(3) + i$
Ho proseguito per via algebrica
$(a + ib)^2(a-ib) = -sqrt(3) + i$
tralascio i conti...e ottengo
$a^3 + a^2ib + ab^2 + ib^3 = -sqrt(3) + i$
faccio sistema distinguendo la parte reale da quella immaginaria..ottengo 2 equazioni!!
1) $a^3 + ab^2 = -sqrt(3)$
2) $a^2b + b^3 = 1$
raccolgo in entrame le equazioni:
1) $a(a^2 + b^2) = -sqrt(3)$
2) $b(a^2 + b^2) = 1$
ho scelto: $(a^2 + b^2) = 1/b$ e sostituito il tutto nella prima eq.
$a*(1/b) = - sqrt(3)$
$(a/b) = -sqrt(3)$
$a = -sqrt(3)b$
"ributto tutto nella prima equazione"
$-sqrt(3)b(3b + b^2) = -sqrt(3)$
$-3b^2 - b^3 = 1$
Ottengo:
$b^2 = 1$
$b = -4$
Da cui ricavo
$a = -sqrt(3)$ per b = 1
$a = sqrt(3)$ per b = -1
$a = 4sqrt(3)$ per b = -4
Cosa ne dite? Durante il compito ho ottenuto risultati stranissimi e sbagliati, qui invece 3 soluzioni.
Secondo voi è corretto lo svolgimento?
Grazie
Risposte
Ciao. Non ho seguito tutti i tuoi calcoli perché mi sembrano un po' complicati. Io farei così, invece:
$z^2*bar(z)=-sqrt(3)+i$__$to$__$z*|z|^2=-sqrt(3)+i$,
e a questo punto metterei in forma esponenziale sia $z=rho e^(i phi)$ sia il secondo membro, ottenendo:
[size=120]$rho^3*e^(i phi)=2*e^(5/6 pi i)$[/size],
da cui: $rho^3=2$ e $phi=5/6 pi$. Salvo errori miei.
$z^2*bar(z)=-sqrt(3)+i$__$to$__$z*|z|^2=-sqrt(3)+i$,
e a questo punto metterei in forma esponenziale sia $z=rho e^(i phi)$ sia il secondo membro, ottenendo:
[size=120]$rho^3*e^(i phi)=2*e^(5/6 pi i)$[/size],
da cui: $rho^3=2$ e $phi=5/6 pi$. Salvo errori miei.
EDIT: non mi ero accorta che aveva già risposto Pallitt (che saluto ). Allora cancello il mio post perché identico, lascio solo questo passaggio per il primo membro:
$z^2 bar(z) = z(z bar(z)) $
Anche a me viene lo stesso risultato: $z = 2^(1/3)e^(5pi/6)$
). Allora cancello il mio post perché identico, lascio solo questo passaggio per il primo membro:$z^2 bar(z) = z(z bar(z)) $
Anche a me viene lo stesso risultato: $z = 2^(1/3)e^(5pi/6)$
Aggiungerei che da questa:
si deduce che deve risultare: $a<0$. Quindi almeno due delle soluzioni che hai trovato sono errate.
[ot]Ciao jitter![/ot]
"gugione":
1) $ a(a^2 + b^2) = -sqrt(3) $
si deduce che deve risultare: $a<0$. Quindi almeno due delle soluzioni che hai trovato sono errate.
[ot]Ciao jitter!
[/ot]
Ah, raga...ho capito!! Mi sono perso in un bicchiere d'acqua perdendo punti preziosi allo scritto XD Va beh, dai...l'importante è capire!!
Solo una cosa vi chiedo (l'ho data per scontata adesso per fare l'esercizio come detto da voi)..
$z^2 * $ z(coniugato) $= z(z*$ z(coniugato))
Ma a me il prodotto fra z e z coniugato viene $a^2-b^2$ é corretto poi dedurre che é uguale al modulo al quadrato?
Scusate la domanda stupida XD Io ipotizzo di si grazie al modulo che lo rende positivo...
Solo una cosa vi chiedo (l'ho data per scontata adesso per fare l'esercizio come detto da voi)..
$z^2 * $ z(coniugato) $= z(z*$ z(coniugato))
Ma a me il prodotto fra z e z coniugato viene $a^2-b^2$ é corretto poi dedurre che é uguale al modulo al quadrato?
Scusate la domanda stupida XD Io ipotizzo di si grazie al modulo che lo rende positivo...
"gugione":
$z^2 * $ z(coniugato) $= z(z*$ z(coniugato))
Ma a me il prodotto fra z e z coniugato viene $a^2-b^2$
il prodotto fra z e z coniugato è $a^2 -i^2 b^2 = a^2+b^2 = r^2$, ma in realtà in questo caso fai meglio con la forma esponenziale, che stai usando:
$z = re^(it)$
$bar(z) = re^(-it)$ (scusa, non mi vengono i caratteri greci)
per cui $z bar(z) = r^2$
$z(z bar(z)) = zr^2 = r^3e^(it)$
$r^3e^(it) = 2 e^(5pi/6)$
ecc.
Grazie! Sei stato molto chiaro! Ti faccio solo un'ultima domanda, ma se lo dovessi scrivere in forma algebrica? É possibile il passaggio?
(scusa per queste domande, ma sto pensando a tutti i possibile quesiti [anche stupidi XD] che potrebbero passare per la testa del mil prof XD)
(scusa per queste domande, ma sto pensando a tutti i possibile quesiti [anche stupidi XD] che potrebbero passare per la testa del mil prof XD)
"gugione":
ma se lo dovessi scrivere in forma algebrica? É possibile il passaggio?
Ti riferisci a questo?
"gugione":
Ma a me il prodotto fra z e z coniugato viene a2−b2 é corretto poi dedurre che é uguale al modulo al quadrato?
Non è corretto, ma mi sa che avevi semplicemente sbagliato un segno:
$(a + ib)(a - ib) = a^2+b^2$ e non $a^2-b^2$.
$a^2+b^2= r^2$ (giustificazione nella forma algebrica)
Se invece ti riferisci all'intero esercizio, non penso ti verrà chiesto di svolgerlo in forma algebrica perché se è un calcolo lungo e meccanico non piacerà al tuo prof
scusa per queste domande, ma sto pensando a tutti i possibile quesiti [anche stupidi XD] che potrebbero passare per la testa del mil prof XD)
di nulla, figurati. Ti capisco, prima dell'esame turbinano le domande
no no, io mi riferisco all'intero esercizio. Il mio prof all'esame l'ha richiesto in forma algebrica. Per questo mi chiedo si possa o meno ottenerla o bisogna rivedere tutta la procedura... Voi che dite?
AGGIORNAMENTO
Forma esponenziale: $z = \rho e^(i\theta)$
Forma trigonometrica: $z = \rho (cos (\theta) + isen (\theta))$
nel mio caso: $\theta = 5/6 \pi$ e $\rho = 2^(1/3)$
Penso (ma non sono sicuro): forma esponenziale --> trigonometrica --> algebrica
Quindi:
trigonometrica = $z = 2^(1/3)(cos(5/6 \pi) + isen(5/6 \pi))$
algebrica: devo trovare a (parte reale) e b (parte immaginaria)
$a = \rho(cos (\theta)) = 2^(1/3)(cos(5/6 \pi)) = 2^(1/3) ((-sqrt(3)/2))$
$b = \rho(isen (\theta)) = 2^(1/3)(isen5/6 \pi) = 2^(1/3) (1/2)$
Ottengo $z = 2^(1/3)((-sqrt(3)/2)) + ( 2^(1/3) (1/2))i$
È l'unico metodo che mi è venuto in mente...che dite?
AGGIORNAMENTO
Forma esponenziale: $z = \rho e^(i\theta)$
Forma trigonometrica: $z = \rho (cos (\theta) + isen (\theta))$
nel mio caso: $\theta = 5/6 \pi$ e $\rho = 2^(1/3)$
Penso (ma non sono sicuro): forma esponenziale --> trigonometrica --> algebrica
Quindi:
trigonometrica = $z = 2^(1/3)(cos(5/6 \pi) + isen(5/6 \pi))$
algebrica: devo trovare a (parte reale) e b (parte immaginaria)
$a = \rho(cos (\theta)) = 2^(1/3)(cos(5/6 \pi)) = 2^(1/3) ((-sqrt(3)/2))$
$b = \rho(isen (\theta)) = 2^(1/3)(isen5/6 \pi) = 2^(1/3) (1/2)$
Ottengo $z = 2^(1/3)((-sqrt(3)/2)) + ( 2^(1/3) (1/2))i$
È l'unico metodo che mi è venuto in mente...che dite?
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