Equazione alle derivate parziali

[el_pampa1]

L'unico metodo che mi hanno insegnato è il metodo della separazione delle variabili. Alcuni esercizi però non mi vengono:
$\u_{t}=u_{x_x}+2u_{x}+tu$ con condizioni $\u_{x}(0,t)=u_{x}(1,t)=0$
come faccio? applicando il metodo della separazione in maniera non riesco ad andare avanti..
Oppure:
$\u_{t_t}-u_{x_x}+u_{x}=0$ con condizioni $\u(0,t)=u(\pi,t)=0$ trovo come soluzione $\u(t,x)=\sum c_{n}(\cos(sqrt((1-4n^{2})/2))x+\sinsqrt((1-4n^{2})/2))x) * \sin (nx)$ è possibile?

[ciampax]

Nella prima, ponendo [tex]$u(x,t)=F(x)\cdot G(t)$[/tex] trovi l'equazione [tex]$F\dot{G}=F'' G+2F' G+tFG$[/tex] che puoi scrivere come

[tex]$F(\dot{G}-tG)=G(F''+2F')$[/tex]

da cui dividendo per [tex]$FG$[/tex]

[tex]$\frac{\dot{G}-tG}{G}=\frac{F''+2F'}{F}=\lambda\in\mathbb{R}$[/tex]

e condizioni [tex]$F'(0)=F'(1)=0$[/tex]. Però senza una condizione iniziale non credo tu riesca a trovare una soluzione, in questo caso (ne troverai una famiglia dipendente da un parametro).

Nel secondo c'è qualcosa che non mi torna: troppe $x$ e nessuna $t$ nella soluzione. L'equazione che devi risolvere in questo caso risulta

[tex]$F\ddot{G}-F'' G+F' G=0\ \Rightarrow\ \frac{\ddot{G}}{G}=\frac{F''-F'}{F}=\lambda\in\mathbb{R}$[/tex]

con condizioni [tex]$F(0)=F(\pi)=0$[/tex] (ed anche in questo caso manca una condizione iniziale).

[el_pampa1]

ero pure io a risolvere $\F''+2F'-\lambda F=0$ e quindi passavo all'associata ma non riuscivo ad andare avanti...
nella secondo i $\sin e \cos$ sono $\t$: ero arrivato pure io alle due equazioni e poi ero andata a risolvere quella in $\x$ visto che solo là ho condizioni...