Equazione alle derivate parziali
risolvere il seguente problema nello spicchio di circonferenza centrata nell'origine di raggio 1 angolo $\alpha$ dato da
$u_t= \triangle u$ e condizioni al bordo espresse in coordinate polari come
$u(r,0,t)=u(r,\pi /2 ,t)=0$ $u(1,\varphi,t) = sen (4\varphi)$ e $u(r,\varphi,0)= r^2 sen(4 \varphi)$..non so come fare a risolvere questa equazione del calore ho provato sia con separazione di variabili sia con la trasformata di fourier ma ho problemi con le condizioni al bordo..
$u_t= \triangle u$ e condizioni al bordo espresse in coordinate polari come
$u(r,0,t)=u(r,\pi /2 ,t)=0$ $u(1,\varphi,t) = sen (4\varphi)$ e $u(r,\varphi,0)= r^2 sen(4 \varphi)$..non so come fare a risolvere questa equazione del calore ho provato sia con separazione di variabili sia con la trasformata di fourier ma ho problemi con le condizioni al bordo..
Risposte
vagamente familiare questo problema...
io sto provando dividendolo in un problema di laplace con condizioni al bordo, e il problema del calore con condizioni nulle.
Il problema è che inizia proprio male, perchè il dato iniziale non è armonico!
io sto provando dividendolo in un problema di laplace con condizioni al bordo, e il problema del calore con condizioni nulle.
Il problema è che inizia proprio male, perchè il dato iniziale non è armonico!
Ho detto una studidaggine perchè se fosse stata armonica aal'inizio l'unica soluzione è quella costante nel tempo mi sa..
Ho provato anch'io a fare due conti, separando le variabili e studiando un problema agli autovalori per il laplaciano ed un'equazione del primo ordine (facile) in $t$; il problema è che il problema agli autovalori per il laplaciano non ha condizioni omogenee al bordo (c'è quel $sin 4phi$ che da fastidio).
Però secondo me c'è qualche trucco da fare... voglio dire se pensate di deformare il settore circolare "di base" facendo girare il lato verticale intorno all'origine (ciò si fa, in coordinate polari, applicando la trasformazione $theta=4phi$) in modo da chiudere la circonferenza, otterrete un dato al bordo del tipo $sin theta$ con $theta in [0,2pi]$ ed un dato iniziale del tipo $r^2sin theta$: però il problema è vedere se l'equazione del calore è invariante rispetto ad una dilatazione dell'anomalia, nel senso che si deve dimostrare che ogni soluzione dell'equazione del calore nel cerchio si può trasformare con una trasformazione lineare di $theta$ in una soluzione della stessa equazione in un settore circolare (non so se è chiaro).
Ovvio che sono idee peregrine, però si può provare a vedere se funzionano.
Però secondo me c'è qualche trucco da fare... voglio dire se pensate di deformare il settore circolare "di base" facendo girare il lato verticale intorno all'origine (ciò si fa, in coordinate polari, applicando la trasformazione $theta=4phi$) in modo da chiudere la circonferenza, otterrete un dato al bordo del tipo $sin theta$ con $theta in [0,2pi]$ ed un dato iniziale del tipo $r^2sin theta$: però il problema è vedere se l'equazione del calore è invariante rispetto ad una dilatazione dell'anomalia, nel senso che si deve dimostrare che ogni soluzione dell'equazione del calore nel cerchio si può trasformare con una trasformazione lineare di $theta$ in una soluzione della stessa equazione in un settore circolare (non so se è chiaro).
Ovvio che sono idee peregrine, però si può provare a vedere se funzionano.
Se invece volessi trovare solo il comportamento per $t rarr oo$ dovrei mostrare che la parte di funzione che rispetta l'equazione del calore con condizioni al bordo nulle e dato iniziale
$r^2(1-r^2) sin 4φ$ (che sarebbe il dato iniziale della soluzione del problema meno la funzione armonica che rispetta le condizioni al bordo) tende a zero.. (e quindi la soluzione tende all'armonica). Con il principio del massimo si puo' dire che il massimo al variare del tempo non puo' crescere ma poi..
$r^2(1-r^2) sin 4φ$ (che sarebbe il dato iniziale della soluzione del problema meno la funzione armonica che rispetta le condizioni al bordo) tende a zero.. (e quindi la soluzione tende all'armonica). Con il principio del massimo si puo' dire che il massimo al variare del tempo non puo' crescere ma poi..
Scrivo meglio il problema.
Sia $u$ funzione su $DxRR^+$, $D$ dominio normale.
$(delu)/(delt)(x,t)=\Deltau(x,t)$
$u|_(delDxRR^+)-= 0$ e $u(x,0)>=0$
dimostrare che $u->0$ per $t-> oo$
Sia $u$ funzione su $DxRR^+$, $D$ dominio normale.
$(delu)/(delt)(x,t)=\Deltau(x,t)$
$u|_(delDxRR^+)-= 0$ e $u(x,0)>=0$
dimostrare che $u->0$ per $t-> oo$
non ci riesco... a meno che non dia per scontato che esistano autofunzioni..
Se il dominio spaziale $D$ è limitato, esistono sempre delle autofunzioni in $L^2(D)$ per $-Delta$ con le condizioni di Dirichlet omogenee e tali autofunzioni costituiscono una base hilbertiana di $L^2(D)$.
Per dirla meglio, cito dal Brezis (Analisi Funzionale - teoria e applicazioni, cap. IX, § 8, teorema IX.31):
Qui $H_0^1(Omega)$ è uno spazio di Sobolev: in particolare $H_0^1(Omega)$ è la chiusura di $C_c^1(Omega)$ nello spazio:
$H^1(Omega)={u in L^2(Omega): (exists u_1,\ldots, u_k in L^2(Omega): AA phi in C_c^oo(Omega), \int_Omega u*(\partial phi)/(\partial x_i) " d"x=\int_Omega u_i*phi" d"x " per " i=1,\ldots,k)}$
rispetto alla norma indotta su $H^1(Omega)$ dal prodotto scalare:
$\langle u, v\rangle_(H^1)=\langle u, v\rangle_(L^2)+\sum_(i=1)^k \langle u_i, v_i\rangle_(L^2)$
(rispetto a tale norma $H^1(Omega)$ è completo ed è pertanto uno spazio di Hilbert).
Per dirla meglio, cito dal Brezis (Analisi Funzionale - teoria e applicazioni, cap. IX, § 8, teorema IX.31):
Sia $Omega subset RR^k$ un aperto limitato.
Esistono una base hilbertiana $(e_n)$ di $L^2(Omega)$ ed una successione positiva e divergente $(lambda_n) subset RR$ tali che: $AA n in NN$
1) $e_n in H_0^1(Omega) cap C^oo(Omega)$
2) $\{(-Delta e_n=lambda_n e_n, " in " Omega), (e_n=0, " su "\partial Omega) :} quad$.
Si dice che i $lambda_n$ sono gli autovalori di $-Delta$ con condizioni di Dirichlet omogenee e che le $e_n$ sono le autofunzioni associate.
Qui $H_0^1(Omega)$ è uno spazio di Sobolev: in particolare $H_0^1(Omega)$ è la chiusura di $C_c^1(Omega)$ nello spazio:
$H^1(Omega)={u in L^2(Omega): (exists u_1,\ldots, u_k in L^2(Omega): AA phi in C_c^oo(Omega), \int_Omega u*(\partial phi)/(\partial x_i) " d"x=\int_Omega u_i*phi" d"x " per " i=1,\ldots,k)}$
rispetto alla norma indotta su $H^1(Omega)$ dal prodotto scalare:
$\langle u, v\rangle_(H^1)=\langle u, v\rangle_(L^2)+\sum_(i=1)^k \langle u_i, v_i\rangle_(L^2)$
(rispetto a tale norma $H^1(Omega)$ è completo ed è pertanto uno spazio di Hilbert).
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