Equazione a variabili separabili
ciao raga come si risolve questo problema a variabili separabili?
$ y' = e^x(-2 + (frac(1) (2sqrt(x))))
y(1) = 0
aiutatemi vi prego non l'ho capito e domani ho un esame...vi ringrazio..
$ y' = e^x(-2 + (frac(1) (2sqrt(x))))
y(1) = 0
aiutatemi vi prego non l'ho capito e domani ho un esame...vi ringrazio..
Risposte
Basta trovare una primitiva della funzione a destra dell'uguale 
non è che mi potresti spiegare per passaggi come fare?
Scusa ma che c'è da spiegare?
$y'=f(x)$ ha come soluzione $y=F(x)$, dove $F(\cdot)$ è l'insieme delle primitive di $f(\cdot)$.
Piuttosto, nella risoluzione dell'integrale, non saprei come fare a trovare una primitiva di $\frac{e^x}{2\sqrt{x}}$.
$y'=f(x)$ ha come soluzione $y=F(x)$, dove $F(\cdot)$ è l'insieme delle primitive di $f(\cdot)$.
Piuttosto, nella risoluzione dell'integrale, non saprei come fare a trovare una primitiva di $\frac{e^x}{2\sqrt{x}}$.
la risoluzione è questa:
$-e^-y = -2x + sqrt(x) + c
però non so come ha fatto ad arrivarci?
$-e^-y = -2x + sqrt(x) + c
però non so come ha fatto ad arrivarci?
allora hai sbagliato a scrivere il testo
no il testo è quello..l'ho controlllato..magari ha sbagliato lui a scrivere e^x....provate a vedere con e^y
il testo corretto sarebbe
$ y' = e^y(-2 + (frac(1) (2sqrt(x))))
y(1) = 0
$ y' = e^y(-2 + (frac(1) (2sqrt(x))))
y(1) = 0
Se è così allora:
$-e^{-y}=-2x + \sqrt{x} + c$ quindi
$-y=\ln(2x - \sqrt{x} + c)$ quindi
$y=\ln(\frac{1}{2x - \sqrt{x} + c})$
ora $y(1)=1$, quindi basta calcolare la funzione precedente in $x=1$ e porla uguale a $1$:
$1=\ln(\frac{1}{2 - 1 + c})$ da cui si ricava
$c=-1+\frac{1}{e}$, quindi la soluzione del problema di Cauchy è:
$y=\ln(\frac{1}{-2x + \sqrt{x} - 1+\frac{1}{e}})$
EDIT: avevo considerato la condizione iniziale $y(1)=1$ (che non è mai stata dichiarata), per $y(1)=0$ le cose funzionano analogamente...
$-e^{-y}=-2x + \sqrt{x} + c$ quindi
$-y=\ln(2x - \sqrt{x} + c)$ quindi
$y=\ln(\frac{1}{2x - \sqrt{x} + c})$
ora $y(1)=1$, quindi basta calcolare la funzione precedente in $x=1$ e porla uguale a $1$:
$1=\ln(\frac{1}{2 - 1 + c})$ da cui si ricava
$c=-1+\frac{1}{e}$, quindi la soluzione del problema di Cauchy è:
$y=\ln(\frac{1}{-2x + \sqrt{x} - 1+\frac{1}{e}})$
EDIT: avevo considerato la condizione iniziale $y(1)=1$ (che non è mai stata dichiarata), per $y(1)=0$ le cose funzionano analogamente...
infatti si vede che ha sbagliato il prof a scrivere....ma come ha fatto a trovare quella soluzione me lo spiegate?
la soluzione di tutto è:
$y = -log(2x - sqrt(x))
la soluzione di tutto è:
$y = -log(2x - sqrt(x))
Per trovare la soluzione ha diviso per $e^y$, e avere:
$\frac{y'}{e^y}=-2+\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Ora integrando a destra e a sinistra si ottiene:
$-e^{-y}=-2x+\sqrt{x}$
Questa è solo una primitiva, l'insieme delle primitive si ottiene aggiungendo una costante arbitraria $c$:
$-e^{-y}=-2x+\sqrt{x}+c$
$\frac{y'}{e^y}=-2+\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Ora integrando a destra e a sinistra si ottiene:
$-e^{-y}=-2x+\sqrt{x}$
Questa è solo una primitiva, l'insieme delle primitive si ottiene aggiungendo una costante arbitraria $c$:
$-e^{-y}=-2x+\sqrt{x}+c$
ok ti ringrazio fino a qua ho capito...poi dice:
la costante c è fissata tramite la condizione iniziale:
$-1= -e^(-y(1)) = -2 + sqrt(1)
non ho capito che ha fatto?
la costante c è fissata tramite la condizione iniziale:
$-1= -e^(-y(1)) = -2 + sqrt(1)
non ho capito che ha fatto?
$y(1)=0$, significa che la funzione calcolata in $x=1$ deve dare come risultato $1$; se $-e^{-y}=-2x+\sqrt{x}+c$ allora
$y=\ln(\frac{1}{2x-\sqrt{x}+c})$
dato che $y(1)=0$
$0=\ln(\frac{1}{2-\sqrt{1}+c})$
ora basta risolvere rispetto a $c$.
$y=\ln(\frac{1}{2x-\sqrt{x}+c})$
dato che $y(1)=0$
$0=\ln(\frac{1}{2-\sqrt{1}+c})$
ora basta risolvere rispetto a $c$.
ok ho capito grazie mille...
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