Equazione a derivate parziali

[stokesnavier87]

Ciao a tutti amici.
Qualcuno saprebbe risolvermi la semplice edp(equazione a derivate parziali)?

(y+1)Ux+x^2Uy=0
U(x,0)=x^6 x appartenente a R

ho trovato le linee caratteristiche ma non riesco ad andare avanti

chiedo il vostro aiuto.
grazie a tutti coloro che si cimenteranno.

[Sk_Anonymous]

Questa una possibile risposta ( secondo le mie conoscenze !).
Il sistema ausiliario di Lagrange ( o delle caratteristiche) è ( formalmente):
$(dx)/(y+1)=(dy)/(x^2)=(dU)/0$
Prendendo i primi due termini ho:
$x^2dx=(y+1)dy$ da cui $2x^3-3y^2-6y=C_o$
Prendendo il primo e terzo termine (o il secondo e terzo) ho:
$0*dx=(y+1)*dU$ da cui $dU=0$ ed infine $U=C_1$
La soluzione sarà allora del tipo $phi(C_o,C_1)=0$ dove $phi$ è un'arbitraria funzione di $C_o,C_1$ soddisfacente le condizioni iniziali.
Nel nostro caso si avrà il sistema:
$phi(2x^3-3y^2-6y ,U)=0$
$phi(2x^3 ,x^6)=0$
Una soluzione particolare potrebbe essere:
$phi=1/4(2x^3-3y^2-6y)^2-U=0$ da cui $U(x,y)=1/4(2x^3-3y^2-6y)^2$
ed è facile verificare che questa U risolve il problema.