Equazione 7 grado

[Lety927D]

Ciao a tutti!
Questo quesito che sembra semplice mi sta creando non pochi problemi

L'equazione (x^7)-1=0 ha:
a. sette soluzioni in C
b. cinque soluzioni in R
c. la soluzione 1 con molteplicità 7
d. nessuna della precedenti


Secondo me sono corrette sia la a che la c, perchè se consideriamo x un numero complesso, l'eq. può essere riscritta come x^7=1+0i e dopo si procede a ricavare le varie radici, ma è anche vero che la soluzione 1 ha molteplicità 7 secondo me. Cosa mi sfugge? Potreste aiutarmi?

Grazie!

[21zuclo]

"Lety927D":Ciao a tutti!
Questo quesito che sembra semplice mi sta creando non pochi problemi

L'equazione (x^7)-1=0 ha:
a. sette soluzioni in C
b. cinque soluzioni in R
c. la soluzione 1 con molteplicità 7
d. nessuna della precedenti


Secondo me sono corrette sia la a che la c, perchè se consideriamo x un numero complesso, l'eq. può essere riscritta come x^7=1+0i e dopo si procede a ricavare le varie radici, ma è anche vero che la soluzione 1 ha molteplicità 7 secondo me. Cosa mi sfugge? Potreste aiutarmi?

Grazie!

di sicuro la b è sbagliata, perchè in R vi è solamente una soluzione

Per me comunque è la lettera a, perchè puoi scrivere così

$x^7=1\rightarrow x^7= e^{i(0)}$ e poi ti ricavi le radici con la formula

$\rho^ {1/n} \exp((\theta+2k\pi)/(n))$

e in questo caso si ha $1^{1/7} \exp((0+2k\pi)/(7))$ con $k=0,1,2,3,4,5,6$

scritto meglio $\exp((0+2k\pi)/(7))$ con $k=0,1,2,3,4,5,6$

così hai sette radici nel piano di Gauss

[Plepp]

"21zuclo":[quote="Lety927D"]Ciao a tutti!
Questo quesito che sembra semplice mi sta creando non pochi problemi

L'equazione (x^7)-1=0 ha:
a. sette soluzioni in C
b. cinque soluzioni in R
c. la soluzione 1 con molteplicità 7
d. nessuna della precedenti


Secondo me sono corrette sia la a che la c, perchè se consideriamo x un numero complesso, l'eq. può essere riscritta come x^7=1+0i e dopo si procede a ricavare le varie radici, ma è anche vero che la soluzione 1 ha molteplicità 7 secondo me. Cosa mi sfugge? Potreste aiutarmi?

Grazie!

di sicuro la b è sbagliata, perchè in R vi è solamente una soluzione

Per me comunque è la lettera a, perchè puoi scrivere così

$x^7=1\rightarrow x^7= e^{i(0)}$ e poi ti ricavi le radici con la formula

$\rho^ {1/n} \exp((\theta+2k\pi)/(n))$

e in questo caso si ha $1^{1/7} \exp((0+2k\pi)/(7))$ con $k=0,1,2,3,4,5,6$

scritto meglio $\exp((0+2k\pi)/(7))$ con $k=0,1,2,3,4,5,6$

così hai sette radici nel piano di Gauss[/quote]
A prescindere da questo, il fatto che la risposta corretta sia la a) te lo garantisce il Teorema fondamentale dell'algebra (in breve, ogni equazione di grado $n$ ha esattamente $n$ soluzioni in $\CC$..).

[PZf]

"Lety927D":ma è anche vero che la soluzione 1 ha molteplicità 7 secondo me. Cosa mi sfugge? Potreste aiutarmi?

Per la definizione di molteplicità di una soluzione, se fosse vero che $1$ avesse molteplicità $7$ dovresti essere in grado di scrivere $x^7-1=(x-1)^7q(x)$ dove $q(x)$ è un certo polinomio. Ciò è palesemente falso, quindi la risposta C è sbagliata.

[Lety927D]

Perfetto, grazie mille!