Equazione

[giuppyru-votailprof]

Salve ragazzi ho dei problemi a risolvere questa equazione qualcuno riesce a dirmi come posso impostarla?

$arctgx-(x/(1+x^2))=0$

grazie in anticipo

[fireball1]

A risolverla con metodi standard non ci riesci: o lo fai graficamente o numericamente.

[giuppyru-votailprof]

scusa, in che consiste risolverla graficamente o numericamente?

[ViciousGoblin]

Mi sembra che la funzione $f(x)=arctg(x)-\frac{x}{1+x^2}$ abbia derivata maggiore o eguale a zero (che si annulla solo in zero).
Inoltre $f(0)=0$ per cui l'unica soluzione di $f(x)=0$ dovrebbe essere $x=0$

[fireball1]

Disegni i grafici delle due funzioni e vedi dove si incontrano. Le ascisse dei punti di intersezione sono le soluzioni dell'equazione.
Per valutare effettivamente quanto valgono queste soluzioni, l'unico modo è un metodo numerico.

[fireball1]

"ViciousGoblin":Mi sembra che la funzione $f(x)=arctg(x)-\frac{x}{1+x^2}$ abbia derivata maggiore o eguale a zero (che si annulla solo in zero).
Inoltre $f(0)=0$ per cui l'unica soluzione di $f(x)=0$ dovrebbe essere $x=0$

Ecco, un'ottima alternativa è fare così.

[Luca.Lussardi]

L'equazione data è molto interessante perchè c'è un metodo alternativo molto geometrico che consente di dedurre che l'unica soluzione è $x=0$. Infatti se chiamiamo $g(x)=\arctan x$ allora l'equazione data diventa $0=f(x)=g(x)-xg'(x)$ che equivale, se $x \ne 0$, a $g(x)/x=g'(x)$. Si tratta quindi di trovare quei punti sul grafico di $g$ tali per cui la retta ivi tangente passa per l'origine. Nel caso $g(x)=\arctan x$ nessun punto tranne l'origine soddisfa tale condizione.