Equazione

[Sciarra1]

dire per quali valori di $alphainR$ l' equazione: $ x^2+1-2/3x^3(alpha+2)^2=5/4 $ ha tre soluzioni reali e distinte.
Potreste spiegarmi solo il metodo che dovrei utilizzare per avere le soluzioni, e in generale quali sono i passaggi per affrontare questa tipologia di esercizi? Grazie. (se avete qualche consiglio da aggiungere, ben venga!)

[stormy1]

il problema equivale a vedere per quali valori di $alpha$ la funzione $f(x)=2/3(alpha+2)^2x^3-x^2+1/4$ ammetta 3 zeri
sicuramente non per $alpha=-2$
per il resto,studia la funzione agli estremi,calcola la derivata prima e localizza ascissa ed ordinata degli estremi relativi

[Sciarra1]

stormy, innanzitutto grazie per la risposta, poi volevo chiederti un' altra cosa: una volta fatto tutto lo studio di funzione, come faccio a sapere per quali valori di alfa si ha che la funzione è nulla? Cioè, attraverso lo studio sono riuscito ad individuare dove la funzione è crescente, massimi e minimi e dove ha grafico concavo o convesso, ma le soluzioni particolari come posso ricavarle?

[stormy1]

dallo studio della funzione, soprattutto calcolando l'ordinata del minimo relativo in funzione di $alpha$,dovresti essere in grado di osservare quando accade che il grafico intersechi l'asse delle x 3 volte
quanto vale questa ordinata ?

[Sciarra1]

si a me viene (supponendo $alpha\ne(-2)$): per $alpha<0$ si ha una radice poichè in 0 ho riscontrato un punto di max e dunque essendo la funzione strettamente crescente da $(-oo,0)$ e essendo il $lim_(x->-oo)=-oo$ allora la funzione deve intersecare l' asse delle ascisse in qualche punto,$01/(alpha+2)^2$ poichè la funzione è strettamente crescente in tale intervallo(stesse considerazioni fatte per il primo! Spero di non aver fatto errori, grazie di nuovo.

[Sciarra1]

l' ordinata sono riuscito a calcolarla solo per $x=1/(alpha+2)^2=> -(5/3)^(1/4)-2

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[stormy1]

l'ordinata del minimo relativo è $1/4-1/(3(alpha+2)^4)$
solo se questa ordinata è negativa il grafico interseca l'asse delle x 3 volte

[Sciarra1]

solo questo e poi ho finito?

[stormy1]

direi di sì

[Sciarra1]

grazie mille stormy sei stato di grande aiuto!