Equazioncina complessa

[stagna1]

ho un'eq. complessa ma non posso verificare le soluzioni. qualcuno mi aiuta?

$ |z+1|e^{2iz}=sqrt(5)e^{-2Im(z)} $ , $ |Re(z)| < 2 $

a me viene la porzione compresa tra $ -2 $ e $ 2 $ della circonferenza di centro $ ( -1,0 ) $ e raggio $ sqrt(5) $.

vi torna?

grazie in anticipo.

[Palliit]

Ciao. A me veramente risulta priva di soluzioni... che ragionamento hai fatto?

[Palliit]

Prova a vedere la cosa in questo modo: se diciamo che $z=x+iy$, con $x$ e $y$ reali, l'equazione diventa:

$|1+x+iy|e^(2ix-2y)=sqrt(5)e^(-2y) \rightarrow |1+x+iy|e^(2ix)e^(-2y)=sqrt(5)e^(-2y)$;

dividi per $e^(-2y)$ ambo i membri (è sicuramente diverso da zero), e trovi: $|1+x+iy|e^(2ix)=sqrt(5)$;

ora, il modulo è un numero reale, $sqrt(5)$ anche, quindi per avere l'uguaglianza dev'essere reale anche $e^(2ix)$, il che può verificarsi solo (vista la restrizione $|x|<2$ ma che comunque non è discriminante) in tre casi, cioè $x=0$ oppure $x=\pm pi/2$, cui corrisponde rispettivamente $e^(2ix)$ uguale a $+1$ oppure a $- 1$; sostituisci e constati che non esiste nessun $y$ reale che soddisfi quello che resta dell'equazione. Sempre salvo errori (miei).

[Palliit]

"Palliit":Sempre salvo errori (miei)

Ti chiedo scusa, ma ho commesso uno stupido ma imperdonabile errore di segno, per $x=0$ in effetti ci sono due soluzioni: l'equazione, alla fine del ragionamento di cui sopra (che resta a mio avviso comunque valido), si riduce a $|1+iy|=sqrt(5)$, che ammette $y=\pm 2$, per cui esistono di fatto due soluzioni: $z=\pm 2i$. Ti chiedo nuovamente scusa.

[stagna1]

ti ringrazio in effetti il tuo risultato è corretto.

mi devo esser perso in qualche semplificazione dato che mi ritrovavo con $|1+z|=sqrt(5)$ e non con $|1+iy|=sqrt(5)$.

grazie ancora.

[Palliit]

Se $x=0$ nel modulo rimane soltanto $|1+iy|$.

Ciao