Equaz. differenziali con trasf. di laplace
Salve a tutti! Vorrei una dritta sullo svolgimento di equazioni differenziali a coefficienti variabili con il metodo delle trasformata di Laplace:
$xy''-3xy'+2y=x$ con condizioni iniziali \(\displaystyle y(0)=0 \) e \(\displaystyle y'(0)=-1 \)
Il mio problema non è giungere alla nuova equazione differenziale che contenga la trasformata di Laplace (basta fare la trasformata di ciascun termine) quanto ottenere la trasformata stessa e la sua antitrasformata per ottenere la \(\displaystyle y(x) \). Svolgendo i calcoli con le dovute trasformate io giungo a questa nuova equazione differenziale:
\(\displaystyle (3s-s^2)F'(s)+(3s-s^2)F(s)=1/s^2 \) dove ho indicato con \(\displaystyle F(s) \) la trasformata di Laplace della funzione. Ora, siccome procedendo con il calcolo di questa equazione differenziale i conti mi sembrano abbastanza laboriosi vorrei sapere se sto ragionando in maniera giusta e vorrei qualche consiglio per continuare l'esercizio. Grazie per l'eventuale aiuto.
$xy''-3xy'+2y=x$ con condizioni iniziali \(\displaystyle y(0)=0 \) e \(\displaystyle y'(0)=-1 \)
Il mio problema non è giungere alla nuova equazione differenziale che contenga la trasformata di Laplace (basta fare la trasformata di ciascun termine) quanto ottenere la trasformata stessa e la sua antitrasformata per ottenere la \(\displaystyle y(x) \). Svolgendo i calcoli con le dovute trasformate io giungo a questa nuova equazione differenziale:
\(\displaystyle (3s-s^2)F'(s)+(3s-s^2)F(s)=1/s^2 \) dove ho indicato con \(\displaystyle F(s) \) la trasformata di Laplace della funzione. Ora, siccome procedendo con il calcolo di questa equazione differenziale i conti mi sembrano abbastanza laboriosi vorrei sapere se sto ragionando in maniera giusta e vorrei qualche consiglio per continuare l'esercizio. Grazie per l'eventuale aiuto.
Risposte
Per prima cosa la trasformata corretta è questa
$(3s-s^2)Y'+(5-2s)Y=1/s^2$
Questa è una equazione differenziale lineare in $Y$: se la scrivi così $Y'+\frac{5-2s}{3s-s^2} Y=1/s^2$ dovresti saperla risolvere.
$(3s-s^2)Y'+(5-2s)Y=1/s^2$
Questa è una equazione differenziale lineare in $Y$: se la scrivi così $Y'+\frac{5-2s}{3s-s^2} Y=1/s^2$ dovresti saperla risolvere.
Innanzitutto grazie della risposta ciampax! si la tua equazione differenziale è corretta avevo sbagliato a scrivere io! Comunque riportando l'equazione differenziale nella forma suggerita da te non verrebbe
\(\displaystyle Y'+(5-2s)Y/(3s-s^2)=1/(3s^3-s^4) \) ?
In ogni caso avevo già pensato ad utilizzare la formula relativa alle equazioni diff. lineari del primo ordine ma provando il calcolo(soprattutto dell'integrale risultante) mi sembra piuttosto laborioso quindi volevo sapere se questa è l'unica possibile via da seguire o c'è una tecnica più semplice per ricavare \(\displaystyle Y \) e la relativa antitrasformata.
\(\displaystyle Y'+(5-2s)Y/(3s-s^2)=1/(3s^3-s^4) \) ?
In ogni caso avevo già pensato ad utilizzare la formula relativa alle equazioni diff. lineari del primo ordine ma provando il calcolo(soprattutto dell'integrale risultante) mi sembra piuttosto laborioso quindi volevo sapere se questa è l'unica possibile via da seguire o c'è una tecnica più semplice per ricavare \(\displaystyle Y \) e la relativa antitrasformata.
Se devi farlo con Laplace, devi necessariamente risolvere l'equazione del primo ordine che viene fuori. Considera che i fattori sono $a(s)=\frac{5-2s}{3s-s^2},\ b(s)=\frac{1}{s^2(3s-s^2)}$, che sono tutti fattori razionali e abbastanza semplici da integrare con decomposizioni in fratti semplici.
P.S.: mi sono accorto che non avevo diviso il termine noto per il coefficiente di $Y'$, sorry.
P.S.: mi sono accorto che non avevo diviso il termine noto per il coefficiente di $Y'$, sorry.
Ok grazie per l'aiuto!
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