Equaz. differenziale variabili separabili soluzione
salve a tutti,
ho un'equazione differenziale di questo tipo in un problema di cauchy:
$y'=(1)/(x^2(y-1))$
è a variabili separabili quindi lavoro in questo modo:
$b(y)=1/(y-1)=0$ --> $y(x)=1$ ma questa non è soluzione perchè il problema di cauchy mi dice che $y(1)=4$
successivamente ho che $\int(y-1)dy=\int(1)/(x^2)dx$
che svolto avrò: $y^2/2-y=-1/x+c$
adesso sarà banale ma non riesco a trovare la soluzione
tra l'altro mi si chiede di trovare il più ampio intervallo in cui è definita la soluzione.Ho chiesto quì sul forum e mi è stato detto di calcolare appunto il dominio dell'equazione $y^2/2-y=-1/x+c$ che se non errro è tutto R.
grazie
ho un'equazione differenziale di questo tipo in un problema di cauchy:
$y'=(1)/(x^2(y-1))$
è a variabili separabili quindi lavoro in questo modo:
$b(y)=1/(y-1)=0$ --> $y(x)=1$ ma questa non è soluzione perchè il problema di cauchy mi dice che $y(1)=4$
successivamente ho che $\int(y-1)dy=\int(1)/(x^2)dx$
che svolto avrò: $y^2/2-y=-1/x+c$
adesso sarà banale ma non riesco a trovare la soluzione
tra l'altro mi si chiede di trovare il più ampio intervallo in cui è definita la soluzione.Ho chiesto quì sul forum e mi è stato detto di calcolare appunto il dominio dell'equazione $y^2/2-y=-1/x+c$ che se non errro è tutto R.
grazie
Risposte
"TommyR22":Moltiplica tutto per due e fai il completamento del quadrato
... $y^2/2-y=-1/x+c$
adesso sarà banale ma non riesco a trovare la soluzione
Il dominio non può essere tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex]. Ad esempio [tex]$\frac{1}{x}$[/tex] non è definito per [tex]$x=0$[/tex] e questo valore potevi escluderlo già dall'equazione iniziale.
(Comunque, [tex]$\frac{1}{y-1} \neq 0$[/tex] sempre.)
(Comunque, [tex]$\frac{1}{y-1} \neq 0$[/tex] sempre.)
si scusa in effetti non avevo fatto caso a $1/x$..
per quanto riguarda la soluzione ho moltiplicato per 2:
$(y^2-2y)=2(-1/x+c)$
facendo il complemento del quadrato:
$(y-1)^2-1=2(-1/x+c)$
quindi ho due radici $y=0$ e $y=2$
ma il mio problema è questo, in pratica normalmente mi sono capitate soluzioni in cui $-1/y=log(x)+c$ dove facilmente si trova che $y=1/(log(x)+c)$
in questo caso come devo procedere? grazie
per quanto riguarda la soluzione ho moltiplicato per 2:
$(y^2-2y)=2(-1/x+c)$
facendo il complemento del quadrato:
$(y-1)^2-1=2(-1/x+c)$
quindi ho due radici $y=0$ e $y=2$
ma il mio problema è questo, in pratica normalmente mi sono capitate soluzioni in cui $-1/y=log(x)+c$ dove facilmente si trova che $y=1/(log(x)+c)$
in questo caso come devo procedere? grazie
A questo punto ti consiglio di trovare quanto vale $c$ sfruttando il fatto che $y(1)=4$
Poi porti a destra il $-1$ e fai la radice quadrata
Poi porti a destra il $-1$ e fai la radice quadrata
allora se ho capito bene lavoro in questo modo:
$(y-1)^2=2(-1+c)+1=4$ ---> $c=5/2$
poi come dici porto a destra il $-1$ e faccio la radice quadrata:
$y(x)=sqrt(2(-1/x+5/2)+1)$
??
$(y-1)^2=2(-1+c)+1=4$ ---> $c=5/2$
poi come dici porto a destra il $-1$ e faccio la radice quadrata:
$y(x)=sqrt(2(-1/x+5/2)+1)$
??
"TommyR22":Questo è giusto. Tutto quello che hai scritto dopo contiene qualche imprecisione.
$(y-1)^2-1=2(-1/x+c)$
Allora, cerchiamo di ricavare $c$ tenendo presente che $y(1)=4$:
$(4-1)^2-1=2(-1+c)=> 9-1=-2-2c=> 8+2=2c=> c=5$
Quindi la soluzione diventa: $(y-1)^2-1=2(-1/x+5)$, che possiamo riscrivere $(y-1)^2=1-2/x+10$=>
$(y-1)^2= -2/x+11$
A te i conti finali. Devi fare la radice quadrata, poi isolare la $y$
Mmh, perché eguagli quella quantità a [tex]$4$[/tex]? Tu hai che [tex]$y(1)=4$[/tex] quindi [tex]$(y(1)-1)^2=9$[/tex].
Inoltre, quando fai la radice quadrata, ottieni [tex]$y(x)-1=\pm \sqrt{2 \bigg(-\frac{1}{x}+c \bigg) +1}$[/tex]. Ovviamente il segno da scegliere è quello positivo (Perché?).
Inoltre, quando fai la radice quadrata, ottieni [tex]$y(x)-1=\pm \sqrt{2 \bigg(-\frac{1}{x}+c \bigg) +1}$[/tex]. Ovviamente il segno da scegliere è quello positivo (Perché?).
"Antimius":Guarda che è proprio quello che ho scritto. Riguarda con attenzione il mio post.
Mmh, perché eguagli quella quantità a [tex]$4$[/tex]? Tu hai che [tex]$y(1)=4$[/tex] quindi [tex]$(y(1)-1)^2=9$[/tex].
EDIT: ah, forse ho capito. Non dici a me, ma a TommyR22.
Pensavo che volessi dire a me, perdonami
Sì, dicevo a TommyR22. Non avevo letto il tuo post perché quando avevo aperto la pagina di risposta ancora non c'era 
grazie a tutti e due 
alla fine quindi la soluzione sarebbe questa:
$y(x)=sqrt(-2/x+11)+1$ per $x!=0$ che è l'intervallo in cui sono definite le soluzioni.
giusto?
alla fine quindi la soluzione sarebbe questa:
$y(x)=sqrt(-2/x+11)+1$ per $x!=0$ che è l'intervallo in cui sono definite le soluzioni.
giusto?
Sei sicuro che quella soluzione sia definita per tutte le [tex]$x \neq 0$[/tex]?
ahh devo studiare il dominio della soluzione vero
ponendo la radice $>=0$ avrò $x>=2/11$
giusto?
ponendo la radice $>=0$ avrò $x>=2/11$
giusto?
Giusto
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