Equaz diff ordinaria n equivalente al sistema differenz
dopo aver fatto ricerche non riesco a dimostrare che un'equazione differenziale $y^(n)=f(x,y,y^{\prime},...,y^(n-1))$ è equivalente al sistema
${(y^{\prime}_1=y_2),(y^{\prime}_2=y_3),(...),(y^{\prime}_(n-1)=y_n),(y^{\prime}(_n)=f(x,y_1,...,y_n):}$.cioè non riesco a capire cosa vuol dire che risolvere un'equazione differenziale è equivalente a risolvere un sistema lineare di primo ordine. qualche idea?
${(y^{\prime}_1=y_2),(y^{\prime}_2=y_3),(...),(y^{\prime}_(n-1)=y_n),(y^{\prime}(_n)=f(x,y_1,...,y_n):}$.cioè non riesco a capire cosa vuol dire che risolvere un'equazione differenziale è equivalente a risolvere un sistema lineare di primo ordine. qualche idea?
Risposte
All'inizio disorienta un po' ma in realtà è facile. Prova a farti qualche esempio con delle equazioni del secondo ordine. Te ne propongo uno:
[tex]\ddot{s}(t)=s^3-s[/tex], che diventa [tex]\begin{cases} \dot{y}(t)=-x(t)+x(t)^3 \\ \dot{x}(t)=y(t) \end{cases}[/tex] se chiami [tex]s(t)=x(t)[/tex].
[tex]\ddot{s}(t)=s^3-s[/tex], che diventa [tex]\begin{cases} \dot{y}(t)=-x(t)+x(t)^3 \\ \dot{x}(t)=y(t) \end{cases}[/tex] se chiami [tex]s(t)=x(t)[/tex].
"dissonance":
All'inizio disorienta un po' ma in realtà è facile. Prova a farti qualche esempio con delle equazioni del secondo ordine. Te ne propongo uno:
[tex]\ddot{s}(t)=s^3-s[/tex], che diventa [tex]\begin{cases} \dot{y}(t)=-x(t)+x(t)^3 \\ \dot{x}(t)=y(t) \end{cases}[/tex] se chiami [tex]s(t)=x(t)[/tex].
mmm sinceramente mi blocco non so da dove partire o meglio a dire la verità una dimostrazione di questo teorema la posseggo e per giunta ce l'ho in entrambi i sensi ma purtroppo è frammentata dato che proviene da appunti presi in aula. io invece pensavo in qualcuno che proponesse la sua dimostrazione per vedere se combacia con la mia in modo da poterla completare
Il suggerimento rimane valido: prova a capire questo risultato nel caso particolare del secondo ordine, così poi il caso generale è facile. Prendi l'equazione
(*) [tex]y''=f(x, y, y')[/tex]
e dimostra che una funzione [tex]y=y(x)[/tex] è soluzione di (*) se e solo se, posto [tex]y(x)=y_1(x)[/tex], la funzione [tex]y_1(x)[/tex] è soluzione di
(**) [tex]\begin{cases} y_2'=f(x, y_1, y_2) \\ y_1'=y_2 \end{cases}[/tex]
questo significa che (*) e (**) sono equivalenti.
(*) [tex]y''=f(x, y, y')[/tex]
e dimostra che una funzione [tex]y=y(x)[/tex] è soluzione di (*) se e solo se, posto [tex]y(x)=y_1(x)[/tex], la funzione [tex]y_1(x)[/tex] è soluzione di
(**) [tex]\begin{cases} y_2'=f(x, y_1, y_2) \\ y_1'=y_2 \end{cases}[/tex]
questo significa che (*) e (**) sono equivalenti.
[OT]
C'è qualcosa da limare qui, a livello terminologico.
Diciamo che due problemi si dicono equivalenti quando e solo quando essi hanno le stesse soluzioni; ad esempio [tex]$x-1=0$[/tex] ed [tex]$\ln x=0$[/tex] sono equazioni equivalenti.
Se si accetta questa definizione, un sistema ed una singola equazione non possono essere equivalenti: infatti uno ha come soluzione una funzione vettoriale, l'altra una funzione scalare.
Un modo più corretto di dire quello che si vuole significare è il seguente.
Una funzione [tex]$y(x)$[/tex] è soluzione della EDO [tex]$y^{\prime \prime} (x) =f(x,y(x),y^\prime (x))$[/tex] se e solo se la coppia di funzioni [tex]$(y_1(x),y_2(x)):=(y(x),y^\prime (x))$[/tex] è soluzione del sistema [tex]$\{ y_2^\prime (x) =f(x,y_1 (x),y_2 (x)),\ y_1^\prime (x)=y_2 (x)$[/tex].
[/OT]
"dissonance":
Prendi l'equazione
(*) [tex]y''=f(x, y, y')[/tex]
e dimostra che una funzione [tex]y=y(x)[/tex] è soluzione di (*) se e solo se, posto [tex]y(x)=y_1(x)[/tex], la funzione [tex]y_1(x)[/tex] è soluzione di
(**) [tex]\begin{cases} y_2'=f(x, y_1, y_2) \\ y_1'=y_2 \end{cases}[/tex]
questo significa che (*) e (**) sono equivalenti.
C'è qualcosa da limare qui, a livello terminologico.
Diciamo che due problemi si dicono equivalenti quando e solo quando essi hanno le stesse soluzioni; ad esempio [tex]$x-1=0$[/tex] ed [tex]$\ln x=0$[/tex] sono equazioni equivalenti.
Se si accetta questa definizione, un sistema ed una singola equazione non possono essere equivalenti: infatti uno ha come soluzione una funzione vettoriale, l'altra una funzione scalare.
Un modo più corretto di dire quello che si vuole significare è il seguente.
Una funzione [tex]$y(x)$[/tex] è soluzione della EDO [tex]$y^{\prime \prime} (x) =f(x,y(x),y^\prime (x))$[/tex] se e solo se la coppia di funzioni [tex]$(y_1(x),y_2(x)):=(y(x),y^\prime (x))$[/tex] è soluzione del sistema [tex]$\{ y_2^\prime (x) =f(x,y_1 (x),y_2 (x)),\ y_1^\prime (x)=y_2 (x)$[/tex].
[/OT]
Mi è venuto in mente un esempio per mazzy che spero essere illuminante. Sicuramente sai risolvere le equazioni biquadratiche, cioè di forma
$ax^4+bx^2+c=0$.
Per risolverle di solito si pone $y=x^2$ e si risolve l'equazione $ay^2+by+c=0$, poi si sostituisce in $y=x^2$ e si ricava la $x$. In altri termini, si trasforma l'equazione
(*) $ax^4+bx^2+c=0$
nel sistema
(**) ${(ay^2+by+c=0), (y=x^2):}$.
Non possiamo dire direttamente che questi due problemi sono equivalenti perché sussiste la giusta obiezione di gugo, più correttamente possiamo dire che ogni $x$ soluzione di (*) è tale che, posto $y=x^2$, la coppia $(x, y)$ è soluzione di (**) e viceversa. Ma insomma, in questo caso familiare credo che ci siamo capiti.
Ora il principio dietro la sostituzione nell'equazione differenziale del secondo ordine è esattamente lo stesso.
$ax^4+bx^2+c=0$.
Per risolverle di solito si pone $y=x^2$ e si risolve l'equazione $ay^2+by+c=0$, poi si sostituisce in $y=x^2$ e si ricava la $x$. In altri termini, si trasforma l'equazione
(*) $ax^4+bx^2+c=0$
nel sistema
(**) ${(ay^2+by+c=0), (y=x^2):}$.
Non possiamo dire direttamente che questi due problemi sono equivalenti perché sussiste la giusta obiezione di gugo, più correttamente possiamo dire che ogni $x$ soluzione di (*) è tale che, posto $y=x^2$, la coppia $(x, y)$ è soluzione di (**) e viceversa. Ma insomma, in questo caso familiare credo che ci siamo capiti.
Ora il principio dietro la sostituzione nell'equazione differenziale del secondo ordine è esattamente lo stesso.
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