Eqni differenziali!!
si consideri la soluzione y( x) del problema di cauchy y'=(y-1)f(x) , y(0)=4 ove f(x) è continua e limitata in R. si provi che y(x) esiste per ogni $x>=0$. si dica se l'equzione y(x)=1 ha soluzioni
allora
$dy/(y-1)=dx*f(x)$
$\int dy/(y-1)=\int f(x)dx$
$ln(y-1)=\int f(x)dx$
$y=e^(\int f(x)dx)+1$ ora che si fa???
allora
$dy/(y-1)=dx*f(x)$
$\int dy/(y-1)=\int f(x)dx$
$ln(y-1)=\int f(x)dx$
$y=e^(\int f(x)dx)+1$ ora che si fa???
Risposte
$f$ è limitata, quindi è il Th di esistenza globale, dal momento che il secondo membro è sottolineare.
L'equazione $y(x)=1$ non ha soluzioni poichè la funzione $y=1$ è soluzione della stessa equazione con dato $y(0)=1$, e due soluzioni della stessa equazione differenziale non si possono incontrare.
L'equazione $y(x)=1$ non ha soluzioni poichè la funzione $y=1$ è soluzione della stessa equazione con dato $y(0)=1$, e due soluzioni della stessa equazione differenziale non si possono incontrare.
ciao luca, prima di tutto grazie x la risposta.. comunque come fai a dire che y(0)=1??
se è così allora vuol dire che $e^(\int f(x)dx)=0$ per x=0 e chi me lo dice che è vero?
se è così allora vuol dire che $e^(\int f(x)dx)=0$ per x=0 e chi me lo dice che è vero?
non so che dirti 
ma sicuramente qualcuno ti risponderà !! il caro luca è sempre gentile
ma sicuramente qualcuno ti risponderà !! il caro luca è sempre gentile
provo ad aiutarti io ulissess..
siccome è continua e limitata in tutto R ..
per ogni (x0,y0) € R esiste una soluzione del prob di cauchy y'=f(x,y) y(x0)=y0 che è unica.
quindi mi pare impossibile se l'x0 cambia e il y0 resta fisso la soluzione non è un'unica! correggetemi se sbaglio!
siccome è continua e limitata in tutto R ..
per ogni (x0,y0) € R esiste una soluzione del prob di cauchy y'=f(x,y) y(x0)=y0 che è unica.
quindi mi pare impossibile se l'x0 cambia e il y0 resta fisso la soluzione non è un'unica! correggetemi se sbaglio!
Provo a rispiegare quello che ha detto Luca (chiedo perdono se mi intrometto!!!)
Anzitutto osserviamo che sono verificate le ipotesi del teorema di esistenza e unicità di Cauchy.
Sia $y(x)$ la soluzione del problema di Cauchy
$y'(x) = (y - 1) f(x)$
$y(0) = 4$
Supponiamo per assurdo che esista un'intersezione con la retta $y = 1$, cioè che l'equazione $y(x) = 1$ abbia una soluzione $x_0$. Ma allora $y(x)$ soddisfa anche il problema di Cauchy
$y'(x) = (y - 1) f(x)$
con dato iniziale
$y(x_0) = 1$
Tale problema di Cauchy è (ovviamente) soddisfatto anche dalla soluzione costante $\bar{y}(x) \equiv 1$, il che contraddice l'unicità.
Dunque non ci può essere un'intersezione.
Anzitutto osserviamo che sono verificate le ipotesi del teorema di esistenza e unicità di Cauchy.
Sia $y(x)$ la soluzione del problema di Cauchy
$y'(x) = (y - 1) f(x)$
$y(0) = 4$
Supponiamo per assurdo che esista un'intersezione con la retta $y = 1$, cioè che l'equazione $y(x) = 1$ abbia una soluzione $x_0$. Ma allora $y(x)$ soddisfa anche il problema di Cauchy
$y'(x) = (y - 1) f(x)$
con dato iniziale
$y(x_0) = 1$
Tale problema di Cauchy è (ovviamente) soddisfatto anche dalla soluzione costante $\bar{y}(x) \equiv 1$, il che contraddice l'unicità.
Dunque non ci può essere un'intersezione.
come avevo detto io no?
Il tuo messaggio secondo la mia modesta opinione è molto confuso, se tu intendevi la stessa cosa io non l'avevo capito.
Mi sembra molto più chiaro il messaggio di Luca, ma non lo è per ulissess. Il che mi ha fatto ritenere che fosse opportuna un'ulteriore spiegazione.
Mi sembra molto più chiaro il messaggio di Luca, ma non lo è per ulissess. Il che mi ha fatto ritenere che fosse opportuna un'ulteriore spiegazione.
grazie ragazzi siete stati gentilissimi!! però non capisco una cosa perchè mettete come dato iniziale y(x0)=1 il valore 1 è arbitrario vero poteva essere anche 2 o 3 o 4 ecc..?
in pratica non ci devono essere più di una soluzione di x0 per far valere quel teorema
in pratica non ci devono essere più di una soluzione di x0 per far valere quel teorema
No, $1$ non è arbitrario, $\bar{y}(x) \equiv 1$ è una soluzione costante del problema (annulla il membro a destra dell'equazione), cosa che non vale per $2$ o $3$ o $4$ ($y(x) \equiv 2$ o $3$ o $4$ non soddisfa l'equazione). Un $\bar{x_0}$ tale che la tua soluzione valga $2$ potrebbe esistere, questo ti dice che la tua soluzione verifica anche il problema di Cauchy
$y' = (1 - y) f(x)$
$y(\bar{x_0}) = 2$
ma non contraddici l'unicità (non c'è la soluzione costante che fa da "seconda soluzione").
Inoltre stiamo cercando intersezioni con la retta $y = 1$ (ma mica è casuale che ti abbiano chiesto proprio quelle, sai?) quindi dobbiamo chiederci se esiste un $x_0$ tale che la soluzione da te trovata possa fare $1$.
$y' = (1 - y) f(x)$
$y(\bar{x_0}) = 2$
ma non contraddici l'unicità (non c'è la soluzione costante che fa da "seconda soluzione").
Inoltre stiamo cercando intersezioni con la retta $y = 1$ (ma mica è casuale che ti abbiano chiesto proprio quelle, sai?) quindi dobbiamo chiederci se esiste un $x_0$ tale che la soluzione da te trovata possa fare $1$.
Ho editato i messaggi precedenti, forse ora sono chiari.
$e^(\int f(x)dx)=0 \ \ $ per x=0
è una tipica espressione che compare quando si usa il metodo urang-utang©
Se vuoi, puoi dare un'occhiata ai miei appunti sulle equazioni differenziali a variabili separabili:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... -utang.pdf
è una tipica espressione che compare quando si usa il metodo urang-utang©
Se vuoi, puoi dare un'occhiata ai miei appunti sulle equazioni differenziali a variabili separabili:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... -utang.pdf
"Fioravante Patrone":
è una tipica espressione che compare quando si usa il metodo urang-utang©
Io ho letto il tuo articolo sulle equazioni differenziali a variabili separabili, e pure il metodo dell'orango
Ti dico subito che io utilizzo l'urang-utang, non me ne vergogno
anche se capisco le tue motivazioni. È vero che la $y$ da variabile dipendente diventa misteriosamente indipendente causando strane uguaglianze. Il tuo rigore matematico è impeccabile in questo testo: fai delle oppurtune sostituzioni per calcolare meglio gli integrali ambo i lati, però "non separi le variabili", visto che hai solo la $x$ e chiami $y=f(x)$ con $f(x)$ soluzione dell'equazione differenziale. Diciamo che "separi le funzioni" che sono coinvolte. Il titolo Equazione differenziale a variabili separabili dovrebbe allora intendere proprio il fatto di indicare $y'(x)=dy/dx$. E poi separo.
Chiamiamolo pure trucchetto matematico, ma alla fine semplifichi molto le cose.
Secondo il tuo punto di vista - correggimi se sbaglio - non avrebbero senso dunque le cosiddette equazioni differenziali ESATTE, cioè del tipo: $M(x,y)*dx+N(x,y)*dy=0$ ed è esatta se e solo se $(D(M(x,y)))(y)=(D(N(x,y)))(x)$ (questa brutta scrittura indica le derivate parziali
)Scritta in altro modo sarebbe: $dy/dx=(-M(x,y))/(N(x,y))$ o come preferisci tu $y'(x)=(-M(x,y))/(N(x,y))$. Come procederesti tu per risolvere questa?
Ciao e buon lavoro!
Tu usi il metodo urang-utang© e non te ne vergogni? In che mondo viviamo!!! [size=34]Fai bene, neanch'io me ne vergognerei. Basta che alla fine fai la verifica...[/size]
Interessanti le tue considerazioni sul nome "variabili separabili". Non sono esperto di etimologia matematica, ma penso che il termine derivi proprio dall'uso del metodo scimmiesco.
Il tuo commento mi induce a precisare una cosa, non poco rilevante. Se hai letto i miei appunti, avrai forse notato come, oltre a "mettere le cose a posto(*)" su cose macroscopiche, ci siano anche precisazioni su vari dettagli che tradizionalmente sono trascurati nei metodi di soluzione usati dai non-ominidi. Sono convinto che siano piu' qui che non nel "dividere" dy e dx i potenziali disastri insiti nel metodo urang-utang©.
Quanto alle equazioni "esatte", beh, le analogie sono tante, come hai correttamente colto. Ti anticipo che in una futura revisione ho intenzione di menzionare il tuo contributo e la mia replica. Per ora grazie. Sul come risolverle, a dopo (ma certo non c'e' nulla di quello che le scimmie sanno fare sulle equadiff che gli uomini non sappiano sistemare per bene).
(*) [size=75]Come gia' detto in altre occasioni, non sono certo il primo ad aver scritto come si possono risolvere in modo giusto le equazioni differenziali a variabili separabili! Senno' povera mate e poveri analisti![/size]
Interessanti le tue considerazioni sul nome "variabili separabili". Non sono esperto di etimologia matematica, ma penso che il termine derivi proprio dall'uso del metodo scimmiesco.
Il tuo commento mi induce a precisare una cosa, non poco rilevante. Se hai letto i miei appunti, avrai forse notato come, oltre a "mettere le cose a posto(*)" su cose macroscopiche, ci siano anche precisazioni su vari dettagli che tradizionalmente sono trascurati nei metodi di soluzione usati dai non-ominidi. Sono convinto che siano piu' qui che non nel "dividere" dy e dx i potenziali disastri insiti nel metodo urang-utang©.
Quanto alle equazioni "esatte", beh, le analogie sono tante, come hai correttamente colto. Ti anticipo che in una futura revisione ho intenzione di menzionare il tuo contributo e la mia replica. Per ora grazie. Sul come risolverle, a dopo (ma certo non c'e' nulla di quello che le scimmie sanno fare sulle equadiff che gli uomini non sappiano sistemare per bene).
(*) [size=75]Come gia' detto in altre occasioni, non sono certo il primo ad aver scritto come si possono risolvere in modo giusto le equazioni differenziali a variabili separabili! Senno' povera mate e poveri analisti![/size]
Al di la' della scrittura usuale con cui vengono contrabbandate le equazioni differenziali esatte (e cui un senso si potrebbe dare: ho una forma differenziale identicamente nulla, non vedo che male ci sia), il punto davvero importante e' che una soluzione e' descritta (implicitamente, localmente, etc.) da $P(x,y)=c$, essendo $P$ una funzione a valori reali t.c. $M = \frac{\partial P}{\partial x}$ ed $N = \frac{\partial P}{\partial y}$.
I conti che mi portano a dire che la funzione implicitamente definita risolve l'equazione differenziale scritta come tuhai gia' anticipato sono standard.
I conti che mi portano a dire che la funzione implicitamente definita risolve l'equazione differenziale scritta come tuhai gia' anticipato sono standard.
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