Eq.differenziale con esponenziale

[ninja986]

Ho questa eq.differenziale...
$\{(y'(x)=1-e^(y^2-1)),(y(0)=\alpha):}$

posso risolverlo trovando le soluzioni di $y'(x)=1$ e $y'(x)=e^(y^2-1)$ e poi facendo la sottrazione tra le soluzioni??

a me verrebbe la prima soluzione y=x+c, mentre l'altra sarebbe un integrale $\int y'dy =\int e^(y^2-1) dy$...questo integrale diventa

$\int (y')/e^(y^2) dy =\int 1/e dy$...e poi???

grazie mille a tutti qll ke rispondono

[Lord K]

Alla prima domanda direi che è possibile trovare una soluzione nella tua maniera, anche se non è generale, visto che tu imponi una condizione in più che nel problema non viene richiesta.

Non sono convinto sia integrabile semplicemente, ma ci devo lavorare un poco su....

[irenze]

"ninja986":posso risolverlo trovando le soluzioni di $y'(x)=1$ e $y'(x)=e^(y^2-1)$ e poi facendo la sottrazione tra le soluzioni??

Sì perché l'operatore è lineare, e quindi vale il principio di sovrapposizione.

[Lord K]

"ninja986":
$\int (y')/e^(y^2) dy =\int 1/e dy$...e poi???

Il primo integrale è una funzione particolare che si chiama Error Function e non è scrivibile direttamente, la puoi trovare nella forma:

$Erf[y] = 1/e * x+c$

Seguo quanto ha scritto irenze, ma rimango dell'idea che questo sia un integrale particolare dell'equazione differenziale e non l'integrale generale richiesto.

[irenze]

"Lord K":Seguo quanto ha scritto irenze, ma rimango dell'idea che questo sia un integrale particolare dell'equazione differenziale e non l'integrale generale richiesto.

Se prendi TUTTE le soluzioni (cioè gli integrali generali, che è come io ho letto LE soluzioni, altrimenti hai ragione tu) di $y' = 1$ e di $y' = e^(y^2 - 1)$ e li sommi trovi tutte le soluzioni, non solo un integrale particolare. In ogni caso se hai un integrale particolare quello che manca è solo una costante arbitraria a sommare (cioè una soluzione di $y' = 0$).