Eq.differenziale Bernoulli
ciao a tutti,
ho un problema di cauchy del tipo:
$y'+xy+x^3y^3$
$y(1)=1$
adesso svolgendo l'equazione ho che $m=3>0$ quindi $y(x)=0$ è soluzione.Trovo che $z=y^-2$,divido tutto per $y^3$ e trovo poi $z'=-2y^-3y'$.Sostituisco in equazione e trovo:
$z'=2xz+2x^3$
quì svolgo l'omogenea $z'=2xz$,dove mi trovo che $z=kx^2=g(x)$.Adesso mi calcolo $f(x)'=(c(x))/g(x)=2x$, integro f(x)' per trovarmi $f(x)=x^2$.Quindi la soluzione è $z=kx^2+x^4$ che sostituendo $z=y^-2$ e le condizioni di cauchy avrò che $k=0$ e $y=+-sqrt(1/x^4)$
adesso il procedimento e la soluzione sono giusti?
il problema inoltre mi chiede di trovarmi il più ampio intervallo in cui sono definite le soluzioni, quindi queste soluzioni sono definite per x>0?
grazie
ho un problema di cauchy del tipo:
$y'+xy+x^3y^3$
$y(1)=1$
adesso svolgendo l'equazione ho che $m=3>0$ quindi $y(x)=0$ è soluzione.Trovo che $z=y^-2$,divido tutto per $y^3$ e trovo poi $z'=-2y^-3y'$.Sostituisco in equazione e trovo:
$z'=2xz+2x^3$
quì svolgo l'omogenea $z'=2xz$,dove mi trovo che $z=kx^2=g(x)$.Adesso mi calcolo $f(x)'=(c(x))/g(x)=2x$, integro f(x)' per trovarmi $f(x)=x^2$.Quindi la soluzione è $z=kx^2+x^4$ che sostituendo $z=y^-2$ e le condizioni di cauchy avrò che $k=0$ e $y=+-sqrt(1/x^4)$
adesso il procedimento e la soluzione sono giusti?
il problema inoltre mi chiede di trovarmi il più ampio intervallo in cui sono definite le soluzioni, quindi queste soluzioni sono definite per x>0?
grazie
Risposte
se i conti sono giusti il massimo intervallo di definizione è proprio $x>0$ perchè in $0$ la soluzione non è definita e il dato iniziale $y(1)$ ti impone di stare nel semiasse positivo
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