Eq.differenziale

[ninja986]

Determinare al variare del parametro $k in RR$ tutte le soluzioni del problema differenziale

$\{(y''+ky=0),(y(0)=0),(y'(0)=0):}$

L'integrale generale che ottengo è $y=c_1 cos (sqrt k x) + c_2 sen (sqrtk x)$ in quanto $z^2+k=0$ ammette radici immaginarie $z=+- i sqrtk$

Ora cosa dovrei fare??...

-posso utilizzare il metodo delle variazioni delle costanti??...ho provato è ottengo che $c_1$ e $c_2$ sono delle costanti...s
-faccio la derivata della soluzione trovata cosi posso inserire le condizioni iniziali??...ma ottengo che $c_1$ e $c_2$ sono nulli

insomma nn riesco ad uscirne fuori..

[Lord K]

Uhm... in ogni caso la soluzione particolare $y \equiv 0$ è pur sempre una soluzione, osserva che:

$y'=-c_1sqrt(k)sin(xsqrt(k))+c_2sqrt(k)cos(xsqrt(k))$

da cui imponendo:

$y'(0)=0$

ottengo:

$y'(0)=c_2sqrt(k)$
$0=c_2sqrt(k)$

e da:

$y''=-c_1kcos(xsqrt(k))-c_2ksin(xsqrt(k))$
$y''(0)=-c_1k$

Ora, se $k=0$ oppure se $c_1,c_2 =0$ la soluzione comunque è quella della costante $y\equiv 0$

[Fioravante Patrone1]

"ninja986":Determinare al variare del parametro $k in RR$ tutte le soluzioni del problema differenziale
$\{(y''+ky=0),(y(0)=0),(y'(0)=0):}$

Un esercizio un po' maligno.
E' un problema di Cauchy in cui è ovvio che la funzione identicamente nulla soddisfa sempre l'equazione differenziale e le c.i.
Quindi (grazie al teorema di esistenza e unicità) l'esercizio è finito...

"ninja986":Ora cosa dovrei fare??...

-posso utilizzare il metodo delle variazioni delle costanti??...ho provato è ottengo che $c_1$ e $c_2$ sono delle costanti...s

Il metodo della variazione delle costanti arbitrarie non serve, visto che hai una equazione omogenea.

"ninja986":-faccio la derivata della soluzione trovata cosi posso inserire le condizioni iniziali??...ma ottengo che $c_1$ e $c_2$ sono nulli

La procedura generale è proprio come dici qui. Che trovi $c_1$ e $c_2$ nulli si spiega da quanto visto all'inizio.