Eq.differenziale
ciao!
questa e un eq.differenziale del prim ordine che nn so come risolvere $xy'+y=1+x^2$.
l'ho risolta cosi:
$y=uv$
$xu'v+xuv'+uv=1+x^2$
$xu'=-u-->u=1/x$
$x*1/xv'=1+x^2$
$y=1+1/3x^2+C/x$
c e solo questo modo per risolverla??
Grazie!
questa e un eq.differenziale del prim ordine che nn so come risolvere $xy'+y=1+x^2$.
l'ho risolta cosi:
$y=uv$
$xu'v+xuv'+uv=1+x^2$
$xu'=-u-->u=1/x$
$x*1/xv'=1+x^2$
$y=1+1/3x^2+C/x$
c e solo questo modo per risolverla??
Grazie!
Risposte
Se tu hai un'equazione differenziale del primo ordine:
$y'=\alpha(x)y + \beta(x)$
la soluzione, o meglio, l'insieme delle soluzioni, è:
$y=e^{A(x)}(C + \int e^{-A(x)}\beta(x)dx), C \in \mathbb{R}$
e $A(x)$ è una primitiva di $\alpha(x)$.
In questo caso risulta $\alpha(x)=\frac{-1}{x}$ e $\beta(x)=\frac{1+x^{2}}{x}$
$y'=\alpha(x)y + \beta(x)$
la soluzione, o meglio, l'insieme delle soluzioni, è:
$y=e^{A(x)}(C + \int e^{-A(x)}\beta(x)dx), C \in \mathbb{R}$
e $A(x)$ è una primitiva di $\alpha(x)$.
In questo caso risulta $\alpha(x)=\frac{-1}{x}$ e $\beta(x)=\frac{1+x^{2}}{x}$
ma anche in questa: $y'+y=x^2$ potrei applicare quel procedimento?
Certo.
quindi
$y=e^x(C+inte^(-x)x^2dx)$??
$y=e^x(C+inte^(-x)x^2dx)$??
No, attento:
$y'+y=x^2$ si scrive come $y'=-y+x^2$, quindi $\alpha(x)=-1$, di conseguenza la soluzione si scrive come:
$y=e^{-x}(C+\int e^{x}x^2 dx)$
$y'+y=x^2$ si scrive come $y'=-y+x^2$, quindi $\alpha(x)=-1$, di conseguenza la soluzione si scrive come:
$y=e^{-x}(C+\int e^{x}x^2 dx)$
ok ma in questo modo posso risolvere qualsiasi eq.differenziale omogenea del prim'ordine senza avere mai grosse difficolta?nel senso...in generale e quello che va meglio poi si possono usare anke altri metodi..?e poi sul mio libro ho trovato $e^(A(x))intb(x)e^(-A(x))dx$ un po diversa dalla tua....la C forse nn ci va?
Quando hai un'equazione differenziale del primo ordine esiste una soluzione in forma chiusa, che è appunto quella che ti ho detto, quindi conviene usare sempre questa formula.
Nella formula che riporta il libro manca il $+C$, eppure mi sembra corretta la formula che ho scritto... Ma la $C$ dovrebbe andarci, altrimenti non prendi tutte le soluzioni, però se lo dice il libro alzo le mani...
relax e su* con le mani, tipper: la "C" ci vuole
magari sul libro c'è qualche dettaglio ulteriore che potrebbe spiegare come mai non compare la "C" nella sua formula
quando a richard84, frena la gioia: l'integrale potrebbe essere rognoso da calcolare
comunque la formula esplicita c'è, cosa non scontata: non tutte le equadiff sono risolubili "per quadrature", nel senso che la loro risoluzione è ricondotta al calcolo di integrali
* ovviamente volevo dire giù
magari sul libro c'è qualche dettaglio ulteriore che potrebbe spiegare come mai non compare la "C" nella sua formula
quando a richard84, frena la gioia: l'integrale potrebbe essere rognoso da calcolare
comunque la formula esplicita c'è, cosa non scontata: non tutte le equadiff sono risolubili "per quadrature", nel senso che la loro risoluzione è ricondotta al calcolo di integrali
* ovviamente volevo dire giù
"Tipper":
Se tu hai un'equazione differenziale del primo ordine:
$y'=\alpha(x)y + \beta(x)$
la soluzione, o meglio, l'insieme delle soluzioni, è:
$y=e^{A(x)}(C + \int e^{-A(x)}\beta(x)dx), C \in \mathbb{R}$
e $A(x)$ è una primitiva di $\alpha(x)$.
In questo caso risulta $\alpha(x)=\frac{-1}{x}$ e $\beta(x)=\frac{1+x^{2}}{x}$
come mai la primitiva viene $-1/x$??
"Fioravante Patrone":
relax e su con le mani, tipper: la "C" ci vuole
magari sul libro c'è qualche dettaglio ulteriore che potrebbe spiegare come mai non compare la "C" nella sua formula
quando a richard84, frena la gioia: l'integrale potrebbe essere rognoso da calcolare
comunque la formula esplicita c'è, cosa non scontata: non tutte le equadiff sono risolubili "per quadrature", nel senso che la loro risoluzione è ricondotta al calcolo di integrali
Ah, menomale...
forse ho capito
la formula che cita richard84 dà solo un integrale particolare
mentre quella di tipper dà l'integrale generale della non omogenea
la formula che cita richard84 dà solo un integrale particolare
mentre quella di tipper dà l'integrale generale della non omogenea
"richard84":
[quote="Tipper"]Se tu hai un'equazione differenziale del primo ordine:
$y'=\alpha(x)y + \beta(x)$
la soluzione, o meglio, l'insieme delle soluzioni, è:
$y=e^{A(x)}(C + \int e^{-A(x)}\beta(x)dx), C \in \mathbb{R}$
e $A(x)$ è una primitiva di $\alpha(x)$.
In questo caso risulta $\alpha(x)=\frac{-1}{x}$ e $\beta(x)=\frac{1+x^{2}}{x}$
come mai la primitiva viene $-1/x$??[/quote]
Non è la primitiva che viene $-1/x$, la primitiva è $-lnx$.
ops!e vero scusami letto male!
e invece questa
$y'=xcosxsqrt(2y-3)$
ho trovato un primitiva nel seguente modo
$intxcosxdx$ l ho fatto per parti:
$intxcosxdx=xsenx-intsenxdx=xsenx+cosx+C$
$y'=xcosxsqrt(2y-3)$
ho trovato un primitiva nel seguente modo
$intxcosxdx$ l ho fatto per parti:
$intxcosxdx=xsenx-intsenxdx=xsenx+cosx+C$
L'ultima equazione è a variabili separabili, scrivila come:
$\frac{y'}{\sqrt{2y-3}}=xcosx$
integra a destra e a sinistra e il gioco è fatto.
$\frac{y'}{\sqrt{2y-3}}=xcosx$
integra a destra e a sinistra e il gioco è fatto.
ah!ecco ok!!!l altro modo in questo caso nn si puo applicare quindi!o meglio e complicato!
Dimenticavo di dirti che prima di dividere devi scrivere che anche la soluzione costante $y=\frac{3}{2}$ è soluzione dell'equazione differenziale.
e perche?e nn ho capito se in questo caso l atro metodo nn va bene!
È soluzione anche $y=\frac{3}{2}$ semplicemente perché $\sqrt{2y-3}$ si annulla in $y=\frac{3}{2}$, inoltre, dato che è costante, allora $y'=0$.
Prima di dividere per un certo valore ci si deve sempre assicurare che tale valore sia diverso da zero: dividendo per $\sqrt{2y-3}$, senza fare alcuna considerazione, scarto automaticamente la soluzione $y=\frac{3}{2}$.
Pensa all'equazione $(x-1)^2=x-1$: se divido per $x-1$, senza analizzare cosa succede in $x=1$, becco solo la soluzione $x=2$, mentre perdo la soluzione $x=1$.
Prima di dividere per un certo valore ci si deve sempre assicurare che tale valore sia diverso da zero: dividendo per $\sqrt{2y-3}$, senza fare alcuna considerazione, scarto automaticamente la soluzione $y=\frac{3}{2}$.
Pensa all'equazione $(x-1)^2=x-1$: se divido per $x-1$, senza analizzare cosa succede in $x=1$, becco solo la soluzione $x=2$, mentre perdo la soluzione $x=1$.
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