Eq.differenziale 2 ordine
Ciao, qualcuno sa farmi vedere la risoluzione di questa eq.differenziale?'
$m(d^2x)/(dt^2)=-kx$
questa dovrebbe essere l equazione del secondo principio della dinamica applicata ad una forza elastica....nn l ho postato sul forum fisica perche m interesserebbe sapere come si risolve dal punto di vista matematico (penso nn sia complicatissima ma, nn ho quasi mai svolto una eq.diff di second ordine).
Grazie mille ciao!
$m(d^2x)/(dt^2)=-kx$
questa dovrebbe essere l equazione del secondo principio della dinamica applicata ad una forza elastica....nn l ho postato sul forum fisica perche m interesserebbe sapere come si risolve dal punto di vista matematico (penso nn sia complicatissima ma, nn ho quasi mai svolto una eq.diff di second ordine).
Grazie mille ciao!
Risposte
devi innanzitutto risolvere l'equazione caratteristica associata:
$mlambda^2=-k rarr lambda=+-isqrt(k/m)$
poichè le soluzioni sono complesse coniugate allora la soluzione generale sarà della forma:
$x(t)=c_1cos(sqrt(k/m)t)+c_2sin(sqrt(k/m)t)$
con $c_1$ e $c_2$ costanti arbitrarie che dipendono dalle condizioni iniziali
$mlambda^2=-k rarr lambda=+-isqrt(k/m)$
poichè le soluzioni sono complesse coniugate allora la soluzione generale sarà della forma:
$x(t)=c_1cos(sqrt(k/m)t)+c_2sin(sqrt(k/m)t)$
con $c_1$ e $c_2$ costanti arbitrarie che dipendono dalle condizioni iniziali
grazie...e sarebbe la stessa cosa questa??$x(t)=x_0cos(-k/m)t$ perche il prof l ha data cosi oggi....
temo di no
quindi?
quindi c'è poco da fare, quelle due funzioni non coincidono
c e un modo per risalire alla eq. che ho postato io?
immagino che la t sia dentro la funzione coseno; da quella eq diff non riesci a tirare fuori quella soluzione
piu che altro come ricavo lo spazio in funzione del tempo ovvero $x(t)=x_0cosomegat$?
nn so se sia dentro o fuori alla lavagna l equazione era $x(t)=x_0cosomegat$...a questo punto come posso fare??
nn so se sia dentro o fuori alla lavagna l equazione era $x(t)=x_0cosomegat$...a questo punto come posso fare??
$omega=sqrt(k/m)$, poi per determinare le costanti $c_1$ e $c_2$ hai bisogno di due condizioni iniziali, ad esempio posizione iniziale e velocità iniziale della massa
su un libro di fisica ho trovato la seguene invece:
"data $m(d^2x)/(dt^2)+kx=0$ ponendo $omega^2=k/m$ otteniamo $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$. Questa e un equazione differenziale le cui soluzioni sono, com e noto, le funzioni seno e coseno $omegat$. Sostituendo per x il valore $Asin(omegat+alpha$ possiamo verificare direttamente questa espressione di x.Diciamo quindi che $x=Asin(omegat+alpha)$ e la soluzione generale dell equaz poiche essa ha due costanti arbitrarie, l ampiezza A e la fase iniziale $alpha$"
"data $m(d^2x)/(dt^2)+kx=0$ ponendo $omega^2=k/m$ otteniamo $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$. Questa e un equazione differenziale le cui soluzioni sono, com e noto, le funzioni seno e coseno $omegat$. Sostituendo per x il valore $Asin(omegat+alpha$ possiamo verificare direttamente questa espressione di x.Diciamo quindi che $x=Asin(omegat+alpha)$ e la soluzione generale dell equaz poiche essa ha due costanti arbitrarie, l ampiezza A e la fase iniziale $alpha$"
è la stessa che ho trovato io
quindi il prof ha sbagliato?
se non ha messo sotto radice quadrata il fattore k/m allora ha sbagliato
ok...quindi una soluzione potrebbe essere $x(t)=x_0cos(sqrt(k/m))t$??
la t fa parte dell'argomento del coseno; sì potrebbe essere, in particolare risponde alle condizioni iniziali
${(x(0)=x_0),(x'(0)=0):}$
${(x(0)=x_0),(x'(0)=0):}$
ok...grazie mille!!!cmq il prof nn ha sbagliato son io che nn avevo visto un quadrato...
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