Eq.diff. Integrale curvilineo e operatori vettoriali

gicif
Ciao a tutti,
avrei bisogno di una mano per risolvare questi tre problemi:

1) Risolvere l'equazione differenziale y''+ 4y = x(sinx)^2
Ho trovato la soluzione generale dell'omogenea associata, ma non sò in che forma mettere la soluzione particolare.
Potrebbe essere y = (ax+b)(cosx)^2 + (cx+d)(sinx)^2 (visto che le soluzioni della caratteristica sono 2i e -2i) ?

2) Determinare la funzione f(r) in modo che divgradf(r) = 0, dove r = |V| e V = xi + yj + zk
Se ho capito bene, qui si tratta di applicare il laplaciano alla funzione f(r) (alla fine si otterrà un'eq.differenziale del secondo ordine ??), ma non capisco come ricavare la f(r) sapendo che r = SQRT(x^2+y^2+z^2).

3) Calcolare l'integrale curvilineo lungo C di 1/((2y^2 + 1)^(3/2)), dove C è la curva intersezione tra il cono z^2 = x^2 + y^2 e il piano x + z = 1.
Qui trovo che la curva su cui integrare è la parabola y^2 = 2x-1. Che cosa mi conviene fare? Parametrizzare la parabola o lasciarla in forma cartesiana? Con quali estremi di integrazione?

Vi ringrazio di cuore per l'aiuto che potrete darmi :lol: :lol:
Giuseppe

Risposte
Sk_Anonymous
(1) Conviene scrivere $xsin^2x$ come $x/2-x/2cos2x$ e provare
a trovare la soluzione particolare nella forma $ax+b+(cx+d)cos2x+(ex+f)sin2x$.
Con qualche calcolo si trova che la soluzione e':
$y=x/2+x/6cos2x-2/9sin2x$
Pertanto la soluzione generale e':
$y=x/2+x/6cos2x-2/9sin2x+C_1sin2x+C_2cos2x$
Archimede.

Sk_Anonymous
2)
Conviene scrivere il laplaciano in coordinate sferiche e precisamente,tenuto
conto che nel tuo caso la f(r) dipende solo dalla variabile r,risulta:
$grad^2f(r)=1/r^2del/{delr}(r^2{delf}/{delr})$
Pertanto deve essere:
$1/r^2del/{delr}(r^2{delf}/{delr})=0$
da cui di seguito:
$r^2{delf}/{delr}=C_o$
$f=-C_o/r+C_1$
In definitiva risulta:
$f(x,y,z)=-C_o/\sqrt(x^2+y^2+z^2)+C_1$
Archimede.

gicif
Grande Archie!!!
Grazie infinite per l'aiuto. :D

Con la trasformazione da te suggerita per l'equazione differenziale, la soluzione particolare diventa però: $ax+b+x[(cx+d)cos2x+(ex+f)sin2x]$.
In questo modo ottengo la soluzione generale: $y=x/8+x^2/16cos2x-1/32xsin2x+C_1sin2x+C_2cos2x$, che sò essere quella giusta.

Per il terzo quesito nessuna idea?

Ciao, a presto!
Giuseppe

Sk_Anonymous
Devo aver sbagliato qualche calcolo,ma mi fa piacere averti
dato la diritta giusta.Per il terzo sto vedendo ma per ora non riesco
a trovare i limiti della integrazione.
In serata se mi riesce...
Saluti.
Archimede.

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