Eq. piano tangente
Problema con questo esercizio (semplice) :
Sia $S$ la superficie : $S$ = ${(x,y,z) ∈ R^3\ : z = x^2+ y^2,\z ≤ 1)}$ e sia S orientata in modo che la terza componente della normale risulti positiva.
- Scrivere l’equazione del piano tangente ad S nel punto (0,1).
L'unica cosa che so è che l'equazione è $z = f(x0,y0) +fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0,)(y-y0)$ , ma non so come applicarla !
Sia $S$ la superficie : $S$ = ${(x,y,z) ∈ R^3\ : z = x^2+ y^2,\z ≤ 1)}$ e sia S orientata in modo che la terza componente della normale risulti positiva.
- Scrivere l’equazione del piano tangente ad S nel punto (0,1).
L'unica cosa che so è che l'equazione è $z = f(x0,y0) +fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0,)(y-y0)$ , ma non so come applicarla !
Risposte
La tua superficie è espressa in forma cartesiana, cioè $z=f(x,y)=x^2+y^2$, $z \leq 1$. L'orientazione indotta dalla superficie è con la normale verso l'alto.
Nota che $(0,1) \in S $.
L'equazione che hai scritto del piano tangente è corretta. Hai che $f_x(0,1)=0$ e $f_y(0,1)=2$ e $f(0,1)=1$
Pertanto $z=2y-1$ è il tuo piano tangente. Come si vede qui sotto
Nota che $(0,1) \in S $.
L'equazione che hai scritto del piano tangente è corretta. Hai che $f_x(0,1)=0$ e $f_y(0,1)=2$ e $f(0,1)=1$
Pertanto $z=2y-1$ è il tuo piano tangente. Come si vede qui sotto
"feddy":
La tua superficie è espressa in forma cartesiana, cioè $z=f(x,y)=x^2+y^2$, $z \leq 1$. L'orientazione indotta dalla superficie è con la normale verso l'alto.
Nota che $(0,1) \in S $.
L'equazione che hai scritto del piano tangente è corretta. Hai che $f_x(0,1)=0$ e $f_y(0,1)=2$ e $f(0,1)=1$
Pertanto $z=2y-1$ è il tuo piano tangente. Come si vede qui sotto
E' vero, era abbastanza semplice. Ho fatto casino scambiando il grafico con quello di un cilindro (che si ottiene solo quando $z=1$ e non anche quando $z<1$ giusto? ) Grazie comunque !
Sostanzialemte il $z \leq 1$ ti impone di considerare solo i punti sotto il piano che seziona il paraboloide ellittico ($z=x^2+y^2$).
Scusate se riscrivo dopo diverso tempo : l'esercizio mi chiede anche di calcolare il flusso attraverso S tramite il seguente campo vettoriale $F(x,y,z) = (xz,yz,xy)$
L'ho svolto fino ad un certo punto facendo anche il passaggio a coordinate polari solo che mi blocco in questo punto : $intint_D -2r^4 + r^2costhetasentheta, dr d theta$
L'ho svolto fino ad un certo punto facendo anche il passaggio a coordinate polari solo che mi blocco in questo punto : $intint_D -2r^4 + r^2costhetasentheta, dr d theta$
$r$ e $theta$ dove variano?
$r$ tra $0$ e $1$ mentre $theta$ tra $0$ e $2pi$
Diciamo che alla fine l'ho anche calcolato e mi viene $(-(4pi)/5)$ però non so se è giusto
Diciamo che alla fine l'ho anche calcolato e mi viene $(-(4pi)/5)$ però non so se è giusto
Sì, il risultato dell'integrale è corretto. Il segno negativo sta ad indicare che va nella direzione contraria. Invece di uscire entra o viceversa.
Per calcolare il flusso come hai impostato l'integrale?
Per calcolare il flusso come hai impostato l'integrale?
Ho spezzato l'integrale doppio in 2 pezzi in modo da separare le due variabili in questo modo :
$intint_D -2r^4 dr + intint_D r^2 costheta sentheta ,d theta$
Per poi avere $int_(0)^(2pi)d theta int_(0)^(1) .... dr + int_(0)^(2pi) costheta sentheta int_(0)^(1) r^2 dr$ etc.. il procedimento è giusto? Hai fatto anche tu così?
$intint_D -2r^4 dr + intint_D r^2 costheta sentheta ,d theta$
Per poi avere $int_(0)^(2pi)d theta int_(0)^(1) .... dr + int_(0)^(2pi) costheta sentheta int_(0)^(1) r^2 dr$ etc.. il procedimento è giusto? Hai fatto anche tu così?
non intendo come l'hai risolto analiticamente. Intendo che tu per trovare il flusso hai fatto $int_C \langle F,n \rangle da$, giusto? A questo punto immagino tu abbia parametrizzato la tua superficie in coordinate polari, ma la normale come l'hai presa? Per definizione di integrale di flusso su una superficie hai $int_R \langle F(r(u,v)), (dr)/(du) \wedge (dr)/(dv) \rangle$, dove $r(u,v)$ è una parametrizzazione della superficie di classe $C^1$, iniettiva al più agli estremi, che nel tuo caso sono proprio le coordinate polari. Come vedi il risultato dipende dalla parametrizzazione nel senso che se cambi il verso della normale (il prodotto vettore è anticommutativo), allora cambia il segno del risultato.
Si in effetti mi sono dimenticato di riportare una parte del testo : ... "e sia S orientata in modo che la terza componente della normale risulti positiva." Ecco qui!
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