Eq. numeri complessi + trigonometria
ciao,
come risolvereste questa equazione di secondo grado a coefficienti complessi?
iz^2 - 2z +3i = 0;
ho provato a risolverla, ma il risultato mi viene diverso da quello proposto da libro, forse sbaglio ad operare con la radice quadrata... non lo so...
p.s. ho sempre odiato i numeri complessi, non so perchè... [:(]
come risolvereste questa equazione di secondo grado a coefficienti complessi?
iz^2 - 2z +3i = 0;
ho provato a risolverla, ma il risultato mi viene diverso da quello proposto da libro, forse sbaglio ad operare con la radice quadrata... non lo so...
p.s. ho sempre odiato i numeri complessi, non so perchè... [:(]
Risposte
Procedi tranquillamente come se fosse una equazione "normale" , usando la formula risolutiva ridotta e ottieni :
z=(1+-sqrt(1-3*(i)^2))/i = (1+-sqrt(1+3))/i ; in questo caso essendo un numero positivo sotto radice il valore della radice è : 2 e quindi :
z= (1+-2)/i e infine :
z1= 3/i = -3i.
z2= -1/i = i .
Camillo
z=(1+-sqrt(1-3*(i)^2))/i = (1+-sqrt(1+3))/i ; in questo caso essendo un numero positivo sotto radice il valore della radice è : 2 e quindi :
z= (1+-2)/i e infine :
z1= 3/i = -3i.
z2= -1/i = i .
Camillo
ok, controllo e ti faccio sapere se ho ancora dubbi... spero di no...
e per quanto riguarda questa:
iz^2+2z-2=0;
ho provato ma trovo sempre problemi quando applico la formula che uso per le equazione reali, perchè mi esce la radice con argomento immaginario e non so come risolverla...
ma l'algoritmo del procedimento quale sarebbe ?
iz^2+2z-2=0;
ho provato ma trovo sempre problemi quando applico la formula che uso per le equazione reali, perchè mi esce la radice con argomento immaginario e non so come risolverla...
ma l'algoritmo del procedimento quale sarebbe ?
c'è qualke cosa che potrei leggere per capire bene il tutto ? non so delle slides o un pdf, sul mio libro non sta spiegato bene...
allora vediamo un pò, la cosa dovrebbe andare così grosso modo:
1. si applica la formula risolutiva come per le equazioni reali di secondo grado.
2. se l'argomento sotto radice è un numero reale si prosegue normalmente, e al max se al denominatore vi è un numero immaginario si fanno le operazioni del caso...
3. se l'argomento della radice è immaginario si deve trasformare il numero in forma trigonometrica e risolvere i due casi.
Il problema è che mi trovo male quando devo rappresentare un numero in forma trigonometrica.
Ad esempio ammettiamo che sia -b +- ( 1+2i )^(1/2);
Dobbiamo considerare l'argomento: 1+2i e rappresentarlo in forma trigonometrica. in questo caso p = sqrt(5); e poi sin e cos come faccio a calcolarlo ? perchè la forumla generale dovrebbe essere z = p(cosO + isinO) con sinO = b/p e cosO = a/p però non riesco a capire come effettuare in pratica la trasformazione... mi aiutate ?
grazie.
1. si applica la formula risolutiva come per le equazioni reali di secondo grado.
2. se l'argomento sotto radice è un numero reale si prosegue normalmente, e al max se al denominatore vi è un numero immaginario si fanno le operazioni del caso...
3. se l'argomento della radice è immaginario si deve trasformare il numero in forma trigonometrica e risolvere i due casi.
Il problema è che mi trovo male quando devo rappresentare un numero in forma trigonometrica.
Ad esempio ammettiamo che sia -b +- ( 1+2i )^(1/2);
Dobbiamo considerare l'argomento: 1+2i e rappresentarlo in forma trigonometrica. in questo caso p = sqrt(5); e poi sin e cos come faccio a calcolarlo ? perchè la forumla generale dovrebbe essere z = p(cosO + isinO) con sinO = b/p e cosO = a/p però non riesco a capire come effettuare in pratica la trasformazione... mi aiutate ?
grazie.
In effeti è possibile definire la radice quadrata di un numero complesso,che nel tuo caso è la radice del discriminante,a partire dalla definizione del quadrato.Si consideri un numero complesso:
ai+b
il suo quadrato è anch'esso complesso:
2abi+b^2-a^2
Ponendo 2ab=p e b^2-a^2=q
si ha che la radice di un numero complesso pi+q ha coefficenti espressi dal sistema:
2ab=p
b^2-a^2=q
in cui le incognite sono a e b.
Nel tuo caso il discriminante è 2i+1,per cui risolvendo il sistema:
2ab=2
b^2-a^2=1
ottieni l'equazione in a :
a^4+a^2-1=0
che risolta ha le radici:
a=(+ -)sqrt((-1(+ -)sqrt5)/2)
e b=1/a
ai+b
il suo quadrato è anch'esso complesso:
2abi+b^2-a^2
Ponendo 2ab=p e b^2-a^2=q
si ha che la radice di un numero complesso pi+q ha coefficenti espressi dal sistema:
2ab=p
b^2-a^2=q
in cui le incognite sono a e b.
Nel tuo caso il discriminante è 2i+1,per cui risolvendo il sistema:
2ab=2
b^2-a^2=1
ottieni l'equazione in a :
a^4+a^2-1=0
che risolta ha le radici:
a=(+ -)sqrt((-1(+ -)sqrt5)/2)
e b=1/a
ok grazie, domani mi riguardo quello che hai scritto e vedo di capire bene...
Ad ogni modo puoi applicare senza difficoltà di calcolo la formula dei radicali doppi essendo i=sqrt(-1):
sqrt(ai+b)=sqrt((b+sqrt(a^2+b^2))/2)+sqrt((b-sqrt(a^2+b^2))/2)
La prima radice è sicuramente reale in quanto sviluppando la disequazione irrazionale:
b+sqrt(a^2+b^2)<0 si arriva ad una contraddizione:a^2<0
E' la seconda radice che è sempre irreale (tranne il caso in cui a è nullo).Per cui risulta:
sqrt(ai+b)=isqrt((-b+sqrt(a^2+b^2))/2)+sqrt((b+sqrt(a^2+b^2))/2)
Il problema è che nei nuemri reali la radice di un numero è sempre positiva ;mentre nei numeri complessi nn è possibile stabilire il segno della radice.Per cui vale oltre alla relazione di prima anche l'opposta:
sqrt(ai+b)=-isqrt((-b+sqrt(a^2+b^2))/2)-sqrt((b+sqrt(a^2+b^2))/2)
In definitiva:
sqrt(ai+b)=(+-)(isqrt((-b+sqrt(a^2+b^2))/2)+sqrt((b+sqrt(a^2+b^2))/2))
Applicare questa formula ,come puoi vedere, è piuttosto svantaggioso se nn in casi molto particolari.Nell'equazione di 2°grado ad esempio potevi benissimo lasciare la radice del numero complesso senza complicarti la vita...
sqrt(ai+b)=sqrt((b+sqrt(a^2+b^2))/2)+sqrt((b-sqrt(a^2+b^2))/2)
La prima radice è sicuramente reale in quanto sviluppando la disequazione irrazionale:
b+sqrt(a^2+b^2)<0 si arriva ad una contraddizione:a^2<0
E' la seconda radice che è sempre irreale (tranne il caso in cui a è nullo).Per cui risulta:
sqrt(ai+b)=isqrt((-b+sqrt(a^2+b^2))/2)+sqrt((b+sqrt(a^2+b^2))/2)
Il problema è che nei nuemri reali la radice di un numero è sempre positiva ;mentre nei numeri complessi nn è possibile stabilire il segno della radice.Per cui vale oltre alla relazione di prima anche l'opposta:
sqrt(ai+b)=-isqrt((-b+sqrt(a^2+b^2))/2)-sqrt((b+sqrt(a^2+b^2))/2)
In definitiva:
sqrt(ai+b)=(+-)(isqrt((-b+sqrt(a^2+b^2))/2)+sqrt((b+sqrt(a^2+b^2))/2))
Applicare questa formula ,come puoi vedere, è piuttosto svantaggioso se nn in casi molto particolari.Nell'equazione di 2°grado ad esempio potevi benissimo lasciare la radice del numero complesso senza complicarti la vita...
allora vediamo un pò, ho provato a fare questo esercizio, ed ho avuto dei problemi... forse non mi è chiaro ancora qualcosa.
Allora l'equazione era questa:
Con la formula risolutiva mi ritrovo questo:
Ora devo trasformare l'argomento in forma trigonemtrica.
Dalla teoria so che:
con:
E allora come mai nell'esempio del libro viene riportato invece che:
da dove esce questo risultato ? cioè non mi ritrovo con il sinx ed il cosx...
Inoltre perchè il risultato della radice riportato nel libro:
ha la radice di 5 elevato alla 4 e non alla seconda ?
Spero mi possiate aiutare, grazie a tutti!
Allora l'equazione era questa:
Con la formula risolutiva mi ritrovo questo:
Ora devo trasformare l'argomento in forma trigonemtrica.
Dalla teoria so che:
con:
E allora come mai nell'esempio del libro viene riportato invece che:
da dove esce questo risultato ? cioè non mi ritrovo con il sinx ed il cosx...
Inoltre perchè il risultato della radice riportato nel libro:
ha la radice di 5 elevato alla 4 e non alla seconda ?
Spero mi possiate aiutare, grazie a tutti!
Se leggo bene l'equazione c'è un errore nella tua determinazione di z ; dovrebbe essere : z= 3+-sqrt(9+4i).
Controlla .
Camillo
Controlla .
Camillo
mm no, la determinazione di z sta bene, è quella che esce anche nell'esempio del libro, avevo solo sbagliato a scrivere il testo dell'equazione iniziale, cioè nella fretta avevo dimenticato di mettere il 5, ora l'ho corretta sempre nel post di prima... i passaggi cmq stanno bene... non capisco perchè mi escano diversi i risultati e sopratutto come fa ad uscire quel valore del coseno e del seno...
nessuno che mi sappia spiegare il perchè del valore del cosx e sinx ?
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