Eq. differenziali intervallo della soluzione
Ho un esercizio di questo tipo:
'Dato il problema di Cauchy:
$y' = arctg y$
$y(0) = 1$
si può stabilire in quale intervallo è definita la soluzione di tale problema?'
il dominio di $f(x,y) =arctg y$ è tutto $RR^2$
è anche continua in tale insieme
Vedo la lipschitzianità, e noto che la sua derivata (rispetto ad $y$) è limitata poichè:
$f_y = 1/(1+y^2) <1$ ed è uguale a $1$ per $y=0$
la soluzione quindi coincide con il dominio $RR^2$, giusto? Perchè invece la soluzione è definita in $RR$ (così dice il risultato)
altra domanda: la soluzione si può annullare?
se si annulla, allora esisterà un $x_0$ appartenente a $RR$ tale che $y(x_0) = 0$ ma per il problema di cauchy $y(0) = 1$ non si può annullare.
perchè il risultato dice ('' $y$ è sempre positiva '')? [tale informazione non mi mette e non mi toglie nulla....]
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piccola richiesta: qualcuno di voi dispone di esercizi di tal tipo, o che ha visto in qualche libro e può consigliarmene? grazie.
'Dato il problema di Cauchy:
$y' = arctg y$
$y(0) = 1$
si può stabilire in quale intervallo è definita la soluzione di tale problema?'
il dominio di $f(x,y) =arctg y$ è tutto $RR^2$
è anche continua in tale insieme
Vedo la lipschitzianità, e noto che la sua derivata (rispetto ad $y$) è limitata poichè:
$f_y = 1/(1+y^2) <1$ ed è uguale a $1$ per $y=0$
la soluzione quindi coincide con il dominio $RR^2$, giusto? Perchè invece la soluzione è definita in $RR$ (così dice il risultato)
altra domanda: la soluzione si può annullare?
se si annulla, allora esisterà un $x_0$ appartenente a $RR$ tale che $y(x_0) = 0$ ma per il problema di cauchy $y(0) = 1$ non si può annullare.
perchè il risultato dice ('' $y$ è sempre positiva '')? [tale informazione non mi mette e non mi toglie nulla....]
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piccola richiesta: qualcuno di voi dispone di esercizi di tal tipo, o che ha visto in qualche libro e può consigliarmene? grazie.
Risposte
"ludwigZero":
la soluzione quindi coincide con il dominio $RR^2$, giusto? Perchè invece la soluzione è definita in $RR$ (così dice il risultato)
Una soluzione di un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine è, per definizione, una funzione \(y: I\to\mathbb{R}\) di classe \(C^1\), con \(I\) intervallo in \(\mathbb{R}\); come fa ad essere definita su \(\mathbb{R}^2\)?
altra domanda: la soluzione si può annullare?
se si annulla, allora esisterà un $x_0$ appartenente a $RR$ tale che $y(x_0) = 0$ ma per il problema di cauchy $y(0) = 1$ non si può annullare.
perchè il risultato dice ('' $y$ è sempre positiva '')? [tale informazione non mi mette e non mi toglie nulla....]
Hai già osservato che vale il teorema di esistenza e unicità. Dal momento che la funzione identicamente nulla è una soluzione dell'equazione differenziale, nessun'altra soluzione si potrà annullare (altrimenti nel punto dove le due soluzioni si incrociano, il relativo problema di Cauchy ammetterebbe due soluzioni, violando l'unicità).
In particolare, se una soluzione è positiva in un punto rimane positiva in tutto il suo intervallo di definizione.
Illuminante, grazie del chiarimento 
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