Eq. Differenziali

[20021991]

Buongiorno, in due diversi esercizi di meccanica razionale sono giunto a due equazioni che non sono in grado di risolvere:

$ ms'' = fm/R (s')^2 -fkR $

l'altra è:

$ mv' = -kv^2 + mgsin(alpha) $

Il libro si limita a dire che sono a variabili separabili (la prima in $s'$ e $t$) e a darne subito la soluzione.
Non avendole ancora fatte, qualcuno può darmi una dritta su come risolverle?

Grazie anticipatamente

[DMNQ]

"20021991":Buongiorno, in due diversi esercizi di meccanica razionale sono giunto a due equazioni che non sono in grado di risolvere:

$ ms'' = fm/R (s')^2 -fkR $

l'altra è:

$ mv' = -kv^2 + mgsin(alpha) $

Il libro si limita a dire che sono a variabili separabili (la prima in $s'$ e $t$) e a darne subito la soluzione.
Non avendole ancora fatte, qualcuno può darmi una dritta su come risolverle?

Grazie anticipatamente

Ciao !
Le due equazioni si scrivono sotto la forma $ y' = A y^2 + B $ ( Equaz. diff. di Ricatti ) con $ A*B < 0 $ .
Trovo una soluzione particolare $ y_0 = \sqrt(\frac{|B|}{|A|} )$ e ponendo $ z = y - y_0 $ ,
ottengo $ z' = A z^2 + 2 A \sqrt(\frac{|B|}{|A|} ) z $ ( Equaz. diff. di Bernoulli ) .
Si puo continuare ...

[ciampax]

DMNQ: le equazioni di Riccatti sono del primo ordine: quella è del secondo!

Per risolvere la prima, posto $s'=y$ si ha $my'={fm}/{R} y^2-fkR$ che può essere posta nella forma a variabili separabili

${Rmy'}/{fm y^2-fkR^2}=1$

che si risolve quadrando

$\int\frac{Rm}{fm y^2-fkR^2}\ dy=\int dx$

La seconda è dello stesso tipo.

Però se non sai cos'è una equazione differenziale e non sai risolvere, credo che spiegartelo qui rischi di diventare troppo lungo!

[DMNQ]

"ciampax": le equazioni di Riccatti sono del primo ordine

Ha ragione ! Le equazioni di Riccati sono del primo ordine ma non ho detto il contrario .

[ciampax]

No, ma vedere quella equazione che hai scritto tu come una di Riccati è una esagerazione!