Eq differenziale, separabili
c'e' qualcosa che non mi torna (dubbio cretino)... se io ho:
$x dx + y dy = xy(x dy - y dx)$, mi si chiede di trovare una soluzione in forma implicita, e non ci sarebbe nessun problema... pero' non mi e' chiara una cosa:
non mi e' molto chiaro come giocare con i differenziali... io so che $dy = y'dx$ per definizione... ma non posso trattarli tranquillamente come variabili algebriche, vero?
devo portare tutto in $dx$ e integrare?
$x dx + y dy = xy(x dy - y dx)$, mi si chiede di trovare una soluzione in forma implicita, e non ci sarebbe nessun problema... pero' non mi e' chiara una cosa:
non mi e' molto chiaro come giocare con i differenziali... io so che $dy = y'dx$ per definizione... ma non posso trattarli tranquillamente come variabili algebriche, vero?
devo portare tutto in $dx$ e integrare?
Risposte
Sì, li devi trattare come se fossero numeri reali, è poco rigoroso ma la teoria delle $1$-forme lo consente.
Raccogli tutti i termini con dx e poi tutti i termini con dy e arrivi a :
$(x+xy^2)dx -(x^2y-y)dy = 0 $
Se questa è una forma differenziale esatta(e lo è ) , allora arrivi facilmente alla soluzione...
$int ( x+xy^2)dx = x^2/2+(x^2y^2)/2 +g(y) $.
etc.
$(x+xy^2)dx -(x^2y-y)dy = 0 $
Se questa è una forma differenziale esatta(e lo è ) , allora arrivi facilmente alla soluzione...
$int ( x+xy^2)dx = x^2/2+(x^2y^2)/2 +g(y) $.
etc.
grazie, adesso vado a googlare "teoria delle $1$-forme" perche' il mio testo propone questo esercizio ma non ne fa neanche menzione...
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