Eq. differenziale per sostituzione

[ludwigZero]

buongiorno
ho qualche dubbio sulla risoluzione di tale eq. differenziale:

$y' = y/x + 2x sqrt(x) sqrt(y)$ con $y(1)=0$

$(y')/sqrt(y) = y/sqrt(y) 1/x + 2 x sqrt(x)$

pongo:
$z = y/sqrt(y) = sqrt(y)$

$z' = 1/(2*sqrt(y))$

riscrivo l'eq diff iniziale in questo modo:

$(y')/(2*sqrt(y)) = y/(2*sqrt(y)) 1/x + x sqrt(x)$

lo vado a risolvere con la diretta espressione:

$y(x) = e^(\int_{x_0}^{x} (a(t) dt)) (y_0 + \int_{x_0}^{x} e^(-\int_{x_0}^{s} (a(s) ds)) b(t) dt)$

svolgendo ho:

$y(x) = e^((1/2)*(log x - log x_0)) (y_0 + \int_{x_0}^{x} (t sqrt(t))/(2*(log t - log x_0)) dt)$

insomma ponendo i valori di cauchy dati....non riesco a decomporre l'integrale tra parentesi *_* ovvero questo:

$\int_{1}^{x} (t sqrt(t))/(2*(log t)) dt$


dove è l'errore? *_*

[ludwigZero]

per il fatto di $z' = (y')/(2sqrt(x))$ ho solo dimenticato di trascriverlo!

se io faccio l'associata:

$z' 1/sqrt(x) + z (-1/(2 x^(3/2))) = 0$

è del tipo:

$z' a(x) + z a' (x) = 0$

$z' a(x) = - z *a'(x)$

$(z '(x))/(z(x)) dx = -(a'(x))/(a(x)) dx$

integrando primo e secondo membro:

$\int ((z '(x))/(z(x)) dx) = - \int (a'(x))/(a(x)) dx)$

da cui si ha: $log z(x) = - log a(x) + K$

e quindi anche: $z(x) = log (1/(a(x))) + K$

e dunque: $z(x) = log (sqrt(x)) + K$

ma non so se va bene :/

[ludwigZero]

è qualcosa del tipo:
$[z(x) a(x)]' = z'(x) a(x) + z(x) a'(x)$

può aiutarmi questa osservazione?

[ludwigZero]

quindi:

$[z(x) a(x)]' = b(x)$

$\int z(x) a(x) dx = \int b(x) dx$

$z(x) = (\int b(x) dx)/(a(x))$

$z(x) = ((x^2)/2 + c)/(1/(sqrt(x)))$

ma dato che:

$z(x) = sqrt(y(x)) = ((x^2)/2 + c)/(1/(sqrt(x)))$

trovo $y(x)$ dunque:
$y(x) = ((x^2)/2 + c)^2/(1/(sqrt(x)))^2$

trovo $c$ ponendo $y(1)=0$ trovando $c = -1/2$

ti trovi con me?