Eq differenziale e spazio vettoriale
Ciao a tutti!
Ho l'equazione differenziale $y'''(x)-4y''(x)+y'(x)+2y(x)=0$
Devo dimostrare che l'insieme delle soluzioni infinitesime per $x \rightarrow -\infty$ costituisce uno spazio vettoriale di cui si chiede di trovare gli elementi di una base.
Salvo errori, mi sono comportato così:
scompongo con Ruffini e ottengo $(\lambda -1)(\lambda^2-3 \lambda -2)=0$ da cui, una volta trovato che le soluzioni della seconda parentesi sono $\lambda_{2,3}=\frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$, si perviene facilmente alla soluzione $y(x)=c_1e^x+c_2e^{\frac{3 + \sqrt{17}}{2}x}+c_3e^{\frac{3 - \sqrt{17}}{2}x}$
Ora calcolo il limite:
$\lim_{x \rightarrow - \infty} y(x)=c_1e^x+c_2e^{\frac{3 + \sqrt{17}}{2}x}+c_3e^{\frac{3 - \sqrt{17}}{2}x} = 0$ $\forall c_1,c_2,c_3 \in \mathbb{R}$
Il problema è che ora Geometria 1 non me la ricordo più molto bene: come posso risolverlo?
Ho l'equazione differenziale $y'''(x)-4y''(x)+y'(x)+2y(x)=0$
Devo dimostrare che l'insieme delle soluzioni infinitesime per $x \rightarrow -\infty$ costituisce uno spazio vettoriale di cui si chiede di trovare gli elementi di una base.
Salvo errori, mi sono comportato così:
scompongo con Ruffini e ottengo $(\lambda -1)(\lambda^2-3 \lambda -2)=0$ da cui, una volta trovato che le soluzioni della seconda parentesi sono $\lambda_{2,3}=\frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$, si perviene facilmente alla soluzione $y(x)=c_1e^x+c_2e^{\frac{3 + \sqrt{17}}{2}x}+c_3e^{\frac{3 - \sqrt{17}}{2}x}$
Ora calcolo il limite:
$\lim_{x \rightarrow - \infty} y(x)=c_1e^x+c_2e^{\frac{3 + \sqrt{17}}{2}x}+c_3e^{\frac{3 - \sqrt{17}}{2}x} = 0$ $\forall c_1,c_2,c_3 \in \mathbb{R}$
Il problema è che ora Geometria 1 non me la ricordo più molto bene: come posso risolverlo?
Risposte
Innanzitutto mi sembra che il limite non sia corretto. Bisogna tenere conto del coefficiente $\alpha$ che compare nelle $e^(\alpha x)$.
Ti viene il vettore $(c_1,c_2,0)$ che è lo spazio vettoriale delle soluzioni.
La sua base è $\bbB=("("1,0,0),(0,1,0")")$
Ti viene il vettore $(c_1,c_2,0)$ che è lo spazio vettoriale delle soluzioni.
La sua base è $\bbB=("("1,0,0),(0,1,0")")$
Sì è vero, il limite è 0 per $c_3=0$ e $\pm \infty$ per $c_3 \ne 0$.
Se ho intuìto giusto dalla tua soluzione:
devo osservare quali termini tendono a zero: poichè i primi due tendono a zero indipendentemente dalle costanti c, posso scegliere i primi due numeri dei vettori che andranno a formare la mia base come voglio (basta che rispettino l'indipendenza lineare), mentre per il terzo numero, poiché il terzo termine tende a zero solo per $c_3=0$, essendo per l'appunto già imposto rimane 0. In questo caso ho uno spazio vettoriale di dimensione 2. Se per caso fosse stato possibile il caso $c_3 \ne 0$ avrei avuto uno spazio vettoriale di dimensione 3.
Ho quindi trovato una base per lo spazio vettoriale, però non ho ancora dimostrato che l'insieme delle soluzioni infinitesime per $x→−∞$ costituisce uno spazio vettoriale. Sarebbe corretto rispondere che, poiché la soluzione è un polinomio, essa costituisce di per sè uno spazio vettoriale?
Se ho intuìto giusto dalla tua soluzione:
devo osservare quali termini tendono a zero: poichè i primi due tendono a zero indipendentemente dalle costanti c, posso scegliere i primi due numeri dei vettori che andranno a formare la mia base come voglio (basta che rispettino l'indipendenza lineare), mentre per il terzo numero, poiché il terzo termine tende a zero solo per $c_3=0$, essendo per l'appunto già imposto rimane 0. In questo caso ho uno spazio vettoriale di dimensione 2. Se per caso fosse stato possibile il caso $c_3 \ne 0$ avrei avuto uno spazio vettoriale di dimensione 3.
Ho quindi trovato una base per lo spazio vettoriale, però non ho ancora dimostrato che l'insieme delle soluzioni infinitesime per $x→−∞$ costituisce uno spazio vettoriale. Sarebbe corretto rispondere che, poiché la soluzione è un polinomio, essa costituisce di per sè uno spazio vettoriale?
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