Eq. Differenziale di 4° ordine non omogenea
Ciao a tutti
ho la seguente equazione differenziale che mi sta turbanto la quiete del sabato pomeriggio
[tex]81 y^{IV} +18 y''+y=x \sin \left(\frac{1}{3}x\right)[/tex]
per quanto riguarda trova l'integrale generale usando l'equazione omogenea associata non ho problemi.
La difficoltà adesso mi nasce nel trovare l'integrale particolare legato alla disomogeneità
Quando ho una disomogeneità $f(x)$ di solito la riconduco a forme note del tipo:
[tex]f(x) = e^{\alpha x}\cdot P(x)[/tex]
[tex]f(x) = e^{\alpha x}(A \sin(\beta x) + B \cos (\beta x))[/tex]
ma in questo caso non è riconducibile ad alcuna forma "nota"
secondo voi è corretto scegliere un integrale particolare nella forma
[tex]w(x) = k_{1} x \sin \left(\frac{1}{3}x\right) + k_{2} x \cos \left(\frac{1}{3}x\right)[/tex]
o dovrei usare il metodo di variazione delle costanti?
grazie a tutti
ho la seguente equazione differenziale che mi sta turbanto la quiete del sabato pomeriggio
[tex]81 y^{IV} +18 y''+y=x \sin \left(\frac{1}{3}x\right)[/tex]
per quanto riguarda trova l'integrale generale usando l'equazione omogenea associata non ho problemi.
La difficoltà adesso mi nasce nel trovare l'integrale particolare legato alla disomogeneità
Quando ho una disomogeneità $f(x)$ di solito la riconduco a forme note del tipo:
[tex]f(x) = e^{\alpha x}\cdot P(x)[/tex]
[tex]f(x) = e^{\alpha x}(A \sin(\beta x) + B \cos (\beta x))[/tex]
ma in questo caso non è riconducibile ad alcuna forma "nota"
secondo voi è corretto scegliere un integrale particolare nella forma
[tex]w(x) = k_{1} x \sin \left(\frac{1}{3}x\right) + k_{2} x \cos \left(\frac{1}{3}x\right)[/tex]
o dovrei usare il metodo di variazione delle costanti?
grazie a tutti
Risposte
"Summerwind78":
ma in questo caso non è riconducibile ad alcuna forma "nota"
Se il termine non omogeneo $f(x)$ è costituito da un prodotto di un polinomio di grado $N$ e funzioni trigonometriche del tipo $\sin(\beta x),\ \cos(\beta x)$, allora l'integrale particolare deve avere la forma
$y_P(x)=P_1(x)\sin(\beta x)+P_2(x)\cos\beta x)$
dove $P_1,\ P_2$ sono polinomi generici completi (cioè in cui compaiono tutte le potenze!) di grado $N$. Ovviamente poi devi fare anche i ragionamenti relativi al fatto che le soluzioni dell'omogenea siano inglobate nel termine noto.
Grazie ad entrambi
ho seguito i vostri consigli ma il risultato non mi tornano i conti
studiando l'integrale generale trovo
[tex]y_{g} = c_{1} \sin \left(\frac{x}{3} \right) + c_{2} x \sin \left(\frac{x}{3} \right) + c_{3} \cos \left(\frac{x}{3} \right) + c_{4} x \cos \left(\frac{x}{3} \right)[/tex]
e fino qui non ci sono problemi
ma se prendo come integrale particolare
[tex]y_{p} = (Ax+B) \sin \left(\frac{x}{3} \right) + (Cx+D) \cos \left(\frac{x}{3} \right)[/tex]
trovo come derivate
[tex]y'_{p} = \frac{1}{3}\left( \cos \left(\frac{x}{3} \right)(Ax+B+3C) + \sin \left(\frac{x}{3} \right)(3A-Cx-D) ) \right)[/tex]
[tex]y''_{p} = \frac{1}{9}\left( \cos \left(\frac{x}{3} \right)(6A-Cx-D) - \sin \left(\frac{x}{3} \right)(Ax+B+6C) ) \right)[/tex]
[tex]y^{IV}_{p} = \frac{1}{81}\left( \sin \left(\frac{x}{3} \right)(Ax+B+12C)- \cos \left(\frac{x}{3} \right)(-12A+Cx+D) ) \right)[/tex]
sostituendo l'integrale particolare nell'equazione differenziale iniziale :
[tex]81 y_{p}^{IV} + 18 y''_{p} + y_{p}=x \sin \left( \frac{x}{3} \right)[/tex]
i termini alla sinistra dell'uguale mi si annullano e mi ritrovo con
[tex]0=x \sin \left( \frac{x}{3} \right)[/tex]
dove sbaglio ?
ho seguito i vostri consigli ma il risultato non mi tornano i conti
studiando l'integrale generale trovo
[tex]y_{g} = c_{1} \sin \left(\frac{x}{3} \right) + c_{2} x \sin \left(\frac{x}{3} \right) + c_{3} \cos \left(\frac{x}{3} \right) + c_{4} x \cos \left(\frac{x}{3} \right)[/tex]
e fino qui non ci sono problemi
ma se prendo come integrale particolare
[tex]y_{p} = (Ax+B) \sin \left(\frac{x}{3} \right) + (Cx+D) \cos \left(\frac{x}{3} \right)[/tex]
trovo come derivate
[tex]y'_{p} = \frac{1}{3}\left( \cos \left(\frac{x}{3} \right)(Ax+B+3C) + \sin \left(\frac{x}{3} \right)(3A-Cx-D) ) \right)[/tex]
[tex]y''_{p} = \frac{1}{9}\left( \cos \left(\frac{x}{3} \right)(6A-Cx-D) - \sin \left(\frac{x}{3} \right)(Ax+B+6C) ) \right)[/tex]
[tex]y^{IV}_{p} = \frac{1}{81}\left( \sin \left(\frac{x}{3} \right)(Ax+B+12C)- \cos \left(\frac{x}{3} \right)(-12A+Cx+D) ) \right)[/tex]
sostituendo l'integrale particolare nell'equazione differenziale iniziale :
[tex]81 y_{p}^{IV} + 18 y''_{p} + y_{p}=x \sin \left( \frac{x}{3} \right)[/tex]
i termini alla sinistra dell'uguale mi si annullano e mi ritrovo con
[tex]0=x \sin \left( \frac{x}{3} \right)[/tex]
dove sbaglio ?
Il termine noto è anche soluzione dell'omogenea associata per cui la soluzione particolare sarà $y(x)=x((Ax+B)sin (x/3)+(Cx+D)cos (x/3))$
Ok ho ricontrollato i calcoli tenendo conto dell'ultimo post (grazie mille Quinzio, non mi ero accorto della soluzione dell'omogenea)
dopo vari passaggi e dopo aver ricontrollato 4 volte tutte le derivate mi trovo
[tex]-72A \sin \left( \frac{x}{3} \right) -72C \cos \left( \frac{x}{3} \right) = x \sin \left( \frac{x}{3} \right)[/tex]
che non mi porta a nulla
mi manca il termine in $x$
Ovviamente non chiedo che mi facciate l'esercizio, ma sapreste indicarmi dove sto sbagliando
non credo dipenda dal calcolo delle derivate perchè l'ho davvero controllato 4 volte e è corretto
dopo vari passaggi e dopo aver ricontrollato 4 volte tutte le derivate mi trovo
[tex]-72A \sin \left( \frac{x}{3} \right) -72C \cos \left( \frac{x}{3} \right) = x \sin \left( \frac{x}{3} \right)[/tex]
che non mi porta a nulla
mi manca il termine in $x$
Ovviamente non chiedo che mi facciate l'esercizio, ma sapreste indicarmi dove sto sbagliando
non credo dipenda dal calcolo delle derivate perchè l'ho davvero controllato 4 volte e è corretto
Ok come non detto...
credo di aver capito il motivo
la soluzione [tex]\pm \frac{1}{3}i[/tex] ha molteplicità pari a 2 e non pari a 1
quindi se l'integrale particolare deve avere forma
[tex]x^{2}(Ax+B) \sin \left( \frac{x}{3} \right) + x^{2}(Ax+B) \cos \left( \frac{x}{3} \right)[/tex]
è corretto?
credo di aver capito il motivo
la soluzione [tex]\pm \frac{1}{3}i[/tex] ha molteplicità pari a 2 e non pari a 1
quindi se l'integrale particolare deve avere forma
[tex]x^{2}(Ax+B) \sin \left( \frac{x}{3} \right) + x^{2}(Ax+B) \cos \left( \frac{x}{3} \right)[/tex]
è corretto?
Oppure per il fatto che la derivata si presenta al grado IV.
Userei anche un strumento software per le derivate almeno per capire se il tutto funziona.
PS:
Capperi perchè l'equazione caratteristica è un quadrato:
$(81\lambda^4+18\lambda+1)=(9\lambda^2+1)^2$
Per cui se denotiamo con $\alpha$ una soluzione dell'omogenea, $\alpha$ è anche soluzione della derivata prima $36\lambda(9\lambda^2+1)$.
Dunque con $x^2((Ax+B)sin(x/3)+(Cx+D)cos(x/3))$ dovremmo avere finito (spero).
Aiutati con un calcolatore tipo questo:
http://www.numberempire.com/derivatives.php
Userei anche un strumento software per le derivate almeno per capire se il tutto funziona.
PS:
Capperi perchè l'equazione caratteristica è un quadrato:
$(81\lambda^4+18\lambda+1)=(9\lambda^2+1)^2$
Per cui se denotiamo con $\alpha$ una soluzione dell'omogenea, $\alpha$ è anche soluzione della derivata prima $36\lambda(9\lambda^2+1)$.
Dunque con $x^2((Ax+B)sin(x/3)+(Cx+D)cos(x/3))$ dovremmo avere finito (spero).
Aiutati con un calcolatore tipo questo:
http://www.numberempire.com/derivatives.php
Infatti era proprio duello che dicevo io 
abbiamo finito, infatti torna
mi ero giá avvalso di Wolfram per le derivate... altrimenti ci avrei impiegato il pomeriggio solo per calcolare quelle
interessante il sito che mi hai indicato, che le fa direttamente di ordine superiore al primo
grazie mille
Ciao
abbiamo finito, infatti torna
mi ero giá avvalso di Wolfram per le derivate... altrimenti ci avrei impiegato il pomeriggio solo per calcolare quelle
interessante il sito che mi hai indicato, che le fa direttamente di ordine superiore al primo
grazie mille
Ciao
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