Eq. differenziale di 2° con condizione sul limite

[robying1]

Salve,

mi trovo a risolvere questa equazione differenziale:

$ y''-4y=xe^(3x) $
con questa condizione
$ lim_(x -> -oo ) y(x)=0 $

Per quanto riguarda la risoluzione dell'equazione differenziale trovo la seguente soluzione:

$ y(x)=c_1e^(2x)+c_2e^(-2x)-(xe^(7x))/20 +e^(7x)/100+x/4e^-x-e^-x/4 $

Adesso, ammesso di aver svolto bene i calcoli, come impongo la condizione

$ lim_(x -> -oo ) y(x)=0 $ ?

Qualcuno mi può aiutare?

[Noisemaker]

prima di tutto controlla il risultato perchè non mi sembra corretta la soluzione di quell'equazione differenziale; secondo, il problema di Cauchy sostanzialmente ti chiede di determinare i valori delli costanti $c_1$ e $c_2$ affinchè il limite per $x\to-\infty$ di $y(x)$ sia $0.$

[Brancaleone1]

${ ( y''(x)-4y(x)=xe^(3x) ),( lim_(x->-oo) y(x)=0 ):}$

La soluzione dell'omogenea associata che hai riportato nell'integrale finale è giusta:

$y_(0)(x)=c_1e^(2x)+c_2e^(-2x)$

tuttavia la soluzione particolare non è esatta - il membro di destra della tua eq. diff. ha un'esponente $3x$ che manca completamente nella tua soluzione: è "un po' difficile" che questa possa condurre al risultato $xe^(3x)$

Prova con $y_p(x)=ae^(3x)+bxe^(3x)$, dopodiché potrai occuparti del limite

[robying1]

"Brancaleone":

Prova con $y_p(x)=ae^(3x)+bxe^(3x)$, dopodiché potrai occuparti del limite

Grazie Brancaleone
Perfetto, avevo sbagliato completamente la soluzione particolare

Quindi ottengo:

$ y(x)=c_1e^(2x)+c_2e^(-2x)+6/5e^(3x)+x/5e^(3x) $

Adesso come lo calcolo il limite?
Non so da dove partire...

EDIT:
$ y(x)=c_1e^(2x)+c_2e^(-2x)-6/25e^(3x)+x/5e^(3x) $

[Noisemaker]

il risultato adesso è verosimile, non ho controllato i conti ...cmq per il limite devi stabilire per quali $c_1$ e $c_2$ si ha
\[\lim_{x\to-\infty} c_1e^{2x}+c_2e^{-2x}+6/5e^{3x}+x/5e^{3x}=0,\]
basta controllare quando le funzioni in gioco sono tutte infinitesime ...

[robying1]

"Noisemaker":il risultato adesso è verosimile, non ho controllato i conti ...cmq per il limite devi stabilire per quali $c_1$ e $c_2$ si ha
\[\lim_{x\to-\infty} c_1e^{2x}+c_2e^{-2x}+6/5e^{3x}+x/5e^{3x}=0,\]
basta controllare quando le funzioni in gioco sono tutte infinitesime ...

Scusami NoiseMaker ma ho sbagliato a riportare la soluzione corretta che è

\[\lim_{x\to-\infty} c_1e^{2x}+c_2e^{-2x}-6/25e^{3x}+x/5e^{3x}=0,\]

Passando alla verifica degli infinitesimi...

la parte derivante dalla soluzione particolare, composta dagli ultimi 2 termini, sono 2 infinitesimi, giusto?

Mentre per ciò che riguarda i primi 2 termini (quelli con c1 e c2)
devo imporre per ottenere degli infinitesimi:

$ c_1 in mathbb(R) $
e
$ c_2 = 0 $

Ho svolto bene?

[Noisemaker]