Eq. differenziale con Laplace
Ciao 
Dato un sistema LTI la cui dinamica è descritta dall'equazione:
$\frac {d^2v(t)} {dt^2} + \frac {dv(t)} {dt} + v(t) = \frac {du(t)} {dt} - u(t)$
determinare la risposta complessiva partendo da conizioni iniziali $v(t)=3; \frac {dv(t)} {dt}=0; \frac {d^2v(t)} {dt^2}=2$ e $u(t) = e^(-t)t$*gradino(t)
Trasformo tutto con Laplace ed ottengo questo:
$V(s) = \frac {3s + 3} {s^2 + s + 1} + \frac {s+1} {s^2+s+1} * U(s)$ ho separato le due componenti per mettere in mostra la risposta libera e quella forzata. Ora, dovrei scomporre $s^2 + s + 1$ in un prodotto di binomi per poi antitrasformare... ma ovviamente mi da numeri complessi... come procedo??
Grazie mille...
Dato un sistema LTI la cui dinamica è descritta dall'equazione:
$\frac {d^2v(t)} {dt^2} + \frac {dv(t)} {dt} + v(t) = \frac {du(t)} {dt} - u(t)$
determinare la risposta complessiva partendo da conizioni iniziali $v(t)=3; \frac {dv(t)} {dt}=0; \frac {d^2v(t)} {dt^2}=2$ e $u(t) = e^(-t)t$*gradino(t)
Trasformo tutto con Laplace ed ottengo questo:
$V(s) = \frac {3s + 3} {s^2 + s + 1} + \frac {s+1} {s^2+s+1} * U(s)$ ho separato le due componenti per mettere in mostra la risposta libera e quella forzata. Ora, dovrei scomporre $s^2 + s + 1$ in un prodotto di binomi per poi antitrasformare... ma ovviamente mi da numeri complessi... come procedo??
Grazie mille...
Risposte
Scomponendo quel polinomio arriverai a qualcosa del tipo $(a+jb)(a-jb)$, quindi puoi scrivere la funzione in fratti semplici del tipo: $A/(a-jb) + B/(a+jb)$ dove $B$ è il coniugato complesso di $A$.
Antitrasformando si ottiene: $A*e^((a-jb)t) + B*e^((a+jb)t)$.
$A$ e $B$ sono numeri complessi e si scrivono come $A=\rho*e^(j(\theta))$ e $B=\rho*e^(-j(\theta))$.
Quindi, dato che sono coniugati, hanno stessa ampiezza e fase opposta.
Ora facendo un po' di conti, raccogliendo i coefficienti uguali, arriverai ad una forma del tipo: $k*(e^(j\varphi) + e^(-j\varphi))$ che risulta essere uguale a $2*k*cos(\varphi)$.
Antitrasformando si ottiene: $A*e^((a-jb)t) + B*e^((a+jb)t)$.
$A$ e $B$ sono numeri complessi e si scrivono come $A=\rho*e^(j(\theta))$ e $B=\rho*e^(-j(\theta))$.
Quindi, dato che sono coniugati, hanno stessa ampiezza e fase opposta.
Ora facendo un po' di conti, raccogliendo i coefficienti uguali, arriverai ad una forma del tipo: $k*(e^(j\varphi) + e^(-j\varphi))$ che risulta essere uguale a $2*k*cos(\varphi)$.
Allora...
Scomponendo il polinomio, ottengo $\frac {-1 + sqrt(-3)} {2}$ e $\frac {-1 - sqrt(-3)} {2}$
Devo anche trasformare la U(s) che mi da $\frac {1} {(s+1)^2}$
Quindi ottengo queste somme: $\frac {C1} {(s - (( -1 + sqrt(-3))/2))} + \frac {C2} {(s - (( -1 - sqrt(-3))/2))} + \frac {C3} {(s - (( -1 + sqrt(-3))/2))} + \frac {C4} {(s - (( -1 - sqrt(-3))/2))} + \frac {C5} {(s+1)} + \frac {C6} {(s+1)^2}$
Ora devo trovare C1, C2, C3, C4, C5, C6. Però mi sembra che i calcoli vengano molto incasinati, per colpa dei complessi...
O forse stò sbagliando io?
Scomponendo il polinomio, ottengo $\frac {-1 + sqrt(-3)} {2}$ e $\frac {-1 - sqrt(-3)} {2}$
Devo anche trasformare la U(s) che mi da $\frac {1} {(s+1)^2}$
Quindi ottengo queste somme: $\frac {C1} {(s - (( -1 + sqrt(-3))/2))} + \frac {C2} {(s - (( -1 - sqrt(-3))/2))} + \frac {C3} {(s - (( -1 + sqrt(-3))/2))} + \frac {C4} {(s - (( -1 - sqrt(-3))/2))} + \frac {C5} {(s+1)} + \frac {C6} {(s+1)^2}$
Ora devo trovare C1, C2, C3, C4, C5, C6. Però mi sembra che i calcoli vengano molto incasinati, per colpa dei complessi...
O forse stò sbagliando io?
I calcoli vengono incasinati, per colpa dei complessi.
C'era però anche un altro metodo più semplice, mi sembra che sia questo:
l'antitrasformata di $A/(a-jb) + B/(a+jb)$ con $A$ coniugato complesso di $B$ è: $2*Re[A*e^((a+jb)t)]u(t)$.
Mi sembra sia questa, ma non mi vorrei sbagliare...
C'era però anche un altro metodo più semplice, mi sembra che sia questo:
l'antitrasformata di $A/(a-jb) + B/(a+jb)$ con $A$ coniugato complesso di $B$ è: $2*Re[A*e^((a+jb)t)]u(t)$.
Mi sembra sia questa, ma non mi vorrei sbagliare...
Allora, adesso cerco di terminare la risoluzione, poi posto il risultato cosi vediamo... 
non stai sbagliando, ma la strada della decomposizione in fratti semplici non è la più veloce... prova con un cambio di variabile, ad esempio vedo che devi antitrasformare $(3s+3)/(s^2+s+1)$...
poni $z=s+1/2$... dunque la funzione da antitrasformare è $3(z+1/2)/(z^2+3/4)$... spezza in due frazioni e troverai
$3z/(z^2+(sqrt(3)/2)^2) + sqrt(3)*(sqrt(3)/2)/(z^2+(sqrt(3)/2)^2$... ricordando la proprietà formale della trasformata di Laplace per la traslazione in $s$ risulta banalmente che l'antitrasformata da te cercata è:
$[3cos(sqrt(3)/2t)+sqrt(3)sen(sqrt(3)/2t)]e^(-t/2)$
spero di non aver commesso errori di calcolo... in ogni caso il principio da utilizzare è questo
poni $z=s+1/2$... dunque la funzione da antitrasformare è $3(z+1/2)/(z^2+3/4)$... spezza in due frazioni e troverai
$3z/(z^2+(sqrt(3)/2)^2) + sqrt(3)*(sqrt(3)/2)/(z^2+(sqrt(3)/2)^2$... ricordando la proprietà formale della trasformata di Laplace per la traslazione in $s$ risulta banalmente che l'antitrasformata da te cercata è:
$[3cos(sqrt(3)/2t)+sqrt(3)sen(sqrt(3)/2t)]e^(-t/2)$
spero di non aver commesso errori di calcolo... in ogni caso il principio da utilizzare è questo
Provando ad antitrasformare la risposta libera, ho trovato:
$\frac {sqrt(-3)} {3sqrt(-3) + 3} e^((\frac {-1 + sqrt(-3)} {2})t) + \frac {sqrt(-3)} {3sqrt(-3) + 3} e^((\frac {-1 - sqrt(-3)} {2})t)$
...
X Kroldar: Non avendo mai svolto esercizi in questo modo non riesco bene a capire...
$\frac {sqrt(-3)} {3sqrt(-3) + 3} e^((\frac {-1 + sqrt(-3)} {2})t) + \frac {sqrt(-3)} {3sqrt(-3) + 3} e^((\frac {-1 - sqrt(-3)} {2})t)$
...
X Kroldar: Non avendo mai svolto esercizi in questo modo non riesco bene a capire...
cosa non ti è chiaro nel mio procedimento? ma poi è giusto il mio risultato?
tra l'altro nelle condizioni iniziali non hai specificato in quale punto la derivata prima è nulla e la derivata seconda è pari a $2$... immagino sia in $0$ ma non fa male precisare; ancora... l'informazione sulla derivata seconda non è ridondante? a cosa ti serve?
tra l'altro nelle condizioni iniziali non hai specificato in quale punto la derivata prima è nulla e la derivata seconda è pari a $2$... immagino sia in $0$ ma non fa male precisare; ancora... l'informazione sulla derivata seconda non è ridondante? a cosa ti serve?
Erano scritte cosi nel testo, comunque si, sono valutate in t=0, ed hai anche ragione sulla derivata seconda, ma pure questa era nel testo.
Intendevo che non li ho mai svolti in quel modo, con cambio di variabile ecc... in effetti è il primo che incontro con valori complessi... quindi non capisco se la soluzione (parziale) che ho presentato è corretta o meno.
Intendevo che non li ho mai svolti in quel modo, con cambio di variabile ecc... in effetti è il primo che incontro con valori complessi... quindi non capisco se la soluzione (parziale) che ho presentato è corretta o meno.
capisco... cmq il cambiamento di variabile credo sia indispensabile se non vuoi lavorare con i numeri complessi.
ho cambiato la trasformata di Laplace $Y(s)$ in $Y(s-s_0)$... a questo punto dobbiamo solo ricordare che $Y(s-s_0)$ si antitrasforma in $y(t)e^(s_0t)$ ed il gioco è fatto
ho cambiato la trasformata di Laplace $Y(s)$ in $Y(s-s_0)$... a questo punto dobbiamo solo ricordare che $Y(s-s_0)$ si antitrasforma in $y(t)e^(s_0t)$ ed il gioco è fatto
vediamo di dare una sistemata alla cosa... dando per buona la prima parte del risultato cerchiamo di antitrasformare anche la seconda parte: $(s+1)/(s^2+s+1)*U(s)$ ma $U(s)=1/(s+1)^2$, dunque la funzione da antitrasformare è $1/((s^2+s+1)(s+1))$. scomponiamola in fratti semplici (si fa a occhio), risulta $1/(s+1)-s/(s^2+s+1)$... non credo tu abbia problemi ad antitrasformare questa funzione, applica di nuovo il cambiamento di variabile e vedrai che non avrai problemi.
per la cronaca il risultato esatto dovrebbe essere $v(t)=[2cos(sqrt(3)/2t)+4/3sqrt(3)sen(sqrt(3)/2t)]e^(-t/2)+1(t)e^(-t)$ dove con $1(t)$ intendo la funzione gradino unitario
per la cronaca il risultato esatto dovrebbe essere $v(t)=[2cos(sqrt(3)/2t)+4/3sqrt(3)sen(sqrt(3)/2t)]e^(-t/2)+1(t)e^(-t)$ dove con $1(t)$ intendo la funzione gradino unitario
Ok, domani mi vedo con calma tutto e provo a rifarlo... cosi se ho qualche dubbio ti faccio sapere.
Una cosa, nei post precedenti come mai hai imposto $z = s + 1/2$?
Intanto grazie mille...
Una cosa, nei post precedenti come mai hai imposto $z = s + 1/2$?
Intanto grazie mille...
il motivo è questo... la difficoltà per antitrasformare sta nel denominatore $s^2+s+1$ che non è scomponibile in fratti semplici nel campo reale. va ricordato che se riusciamo a portare il denominatore nella forma $s^2+omega^2$ con $omega in RR-{0}$ otteniamo le trasformate notevoli di seno e coseno, dunque dobbiamo far scomparire il termine lineare e lasciare solo quello quadratico e quello costante. ponendo $z=s+1/2$ il denominatore perde il termine lineare ed è così possibile antitrasformare in modo semplice senza ricorrere a calcoli complessi. effettuare una sostituzione diversa non avrebbe portato a niente in quanto il termine lineare dal denominatore non sarebbe scomparso 
Ciao, mi è chiaro tutto ciò che hai fatto, ma ho un dubbio atroce/banale 
. Che formule hai usato per la scomposizione in frazioni? Sia per la risposta libera che per quella forzata.
. Che formule hai usato per la scomposizione in frazioni? Sia per la risposta libera che per quella forzata.
per la risposta libera non ho usato nessuna formula, ho semplicemente sommato due funzioni aventi stesso denominatore.
per l'altra teoricamente avrei dovuto scomporre in fratti semplici usando le costanti o i residui, ma era talmente banale che si faceva a occhio
per l'altra teoricamente avrei dovuto scomporre in fratti semplici usando le costanti o i residui, ma era talmente banale che si faceva a occhio
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo