Eq differenziale a variabili separabili.

[JeKO2]

Salve, scusate se sono sparito per un po', ma è stato una settimana di fuoco! Ho dato due mattoni di esami e spero siano andati mediamente ben .

Vi volevo porre questo quesito che non riesco a risolvere:

Sia $y(x)$ la soluzione del problema $y' = 2(xy)^2$ $y(0) = 1/3$ allora $y(-1)$ vale:

Io l'ho risolta in questo modo:

$y' = 2(xy)^2 $

$y'= 2 x^2 y^2$

$y' / (y^2) = 2x^2$

$(dy/dx)/(y^2)= 2x^2$

$dy /y^2 = 2x^2 dx$

ora integrando:

$int dy /y^2 = int 2x^2 dx$

$- 1/y = 2/3 x^3 + c$

$ y = - (3)/(2x^3) + c$

il problema viene adesso perché se imponco che $y(0) = 1/3$ mi verrebbe un qualcosa diviso su 0 che non ha molto senso!
Qualcuno ha qualche idea di dove possa sbagliare?

[Fioravante Patrone1]

per tua fortuna la $c$ va a finire a denominatore...

oppure, puoi usare integrale definito:

$int_{1/3}^y dt /t^2 = int_0^x 2s^2 ds$

il pb dato ha localmente una ed una sola soluzione, quindi la "devi" trovare

[JeKO2]

Fioravante hai ragione, riguardando gli appunti si mi converebbe usare gli integrali definiti come mi hai fatto notare te, però scusami:

$int_{1/3}^y dt /t^2 = -1/y -3$

$int_0^x 2s^2 ds = 2/3 x^3$

Per cui

$-1/y -3 = 2/3 x^3 $

$y = - 1/2x^3 -1/3$

Corretto? A dire il vero mi sono dimenticato di dire che la soluzione al problema è $y(-1) = 3/11$ che non riesco a capire da dove può uscire fuori?
Faccio qualche errore algebrico come mio solito??

[Luca.Lussardi]

Si', fai sempre lo stesso errore algebrico quando passi da $1/y$ ad $y$: non ti sembra strano che se $1/y$ e' un polinomio allora anche $y$ lo e'??

[JeKO2]

Luca penso di aver capito il mio errore, quando faccio il reciproco di y dall'altra parte ho un polinomio quindi alla fine mi ritroverei con:

$y= -(1)/(2x^3 +3)$

Ora la mia domanda è come mai ancora non tornano i conti?

[Luca.Lussardi]

Veramente sarebbe $y=-1/(3+2/3x^3)$.

[JeKO2]

Hai ragione... sono una salsiccia... ho ricopiato male.
Nonostante i calcoli non vengano ancora, provo a rifare l'esercizio da capo con un foglio vergine... sicuramente ho sbagliato un segno.

[JeKO2]

Come volevasi dimostrare errore di segno:

$y' = 2(xy)^2 $

$y'= 2 x^2 y^2$

$y' / (y^2) = 2x^2$

$(dy/dx)/(y^2)= 2x^2$

$dy /y^2 = 2x^2 dx$

$int_{1/3}^y dt /t^2 = int_0^x 2s^2 ds$

$-1/y +3 = 2x^3/3$

$-1/y = 2x^3/3 -3$

$y = - 1/ (2/3 x^3 -3) $

$y(-1) = -1/ (2/3 (-1)^3 -3) $

$y(-1) = -1/(-11/3)$

$y(-1) = 3/11$

Grazie a tutti.
Ciao

[Fioravante Patrone1]

@JeKO

riguardo agli errori di calcolo,
come ti capisco...


mi fa piacere che alla fine il problema sia stato domato