Eq. differenziale a coeff. non costanti

[snow1]

Ciao a tutti
innanzitutto complimenti per questo forum!
è la prima volta che scrivo, avrei un dubbio su questo esercizio

$xy'=y+log(1+x^2)$

1)Determinare tutte le soluzioni in R tali che y(0) = 1
2)Determinare, se esistono, tutte le soluzioni in R tali che y(0) = 0

io ho cercato la soluzione generale

$y(x)=c*|x|+|x|*\int_{x0}^{x} log(1+x^2)/(x*|x|) dx$

e risposto

1) y(0)$!=$1 per ogni c
2) y(0)=0 per ogni c

in x=0 l'integranda non sarebbe definita però l'integrale risulta convergente, quindi posso rispondere così? Grazie!

[Rigel1]

Salvo errori di calcolo, mi sembra che l'integrale generale dell'equazione posta in forma normale, nelle semirette \((0,+\infty)\) e \((-\infty, 0)\) sia del tipo
\[
y = c |x| + 2x \arctan(x) - \log(1+x^2)\,, \qquad x\in (-\infty, 0) \ \text{oppure}\ x\in (0, +\infty).
\]
Queste funzioni sono raccordabili a coppie nell'origine, in modo da essere differenziabili, solo prendendo valori opposti della costante \(c\) nelle due semirette; in particolare, si ottiene una famiglia di soluzioni definite su tutto \(\mathbb{R}\):
\[
y = c x + 2x \arctan(x) - \log(1+x^2)\,, \qquad x\in\mathbb{R}.
\]
Tutte queste funzioni soddisfano la condizione \(y(0) = 0\), dunque sono tutte soluzioni del PdC per l'equazione di partenza con \(y(0) = 0\). Non ci sono invece soluzioni con \(y(0) = y_0 \neq 0\).

[snow1]

Grazie mille per la risposta!!
Ma quindi il mio integrale generale era sbagliato o dovevo andare avanti integrando?

[Rigel1]

Potevi tenerlo anche in quella forma ma scrivendolo separatamente nelle semirette \((-\infty, 0)\) e \((0, +\infty)\), scegliendo nel primo caso un punto \(x_0 < 0\) e nel secondo caso un punto \(x_0 > 0\).
Devi poi vedere quali soluzioni nei due rami si raccordano in modo differenziabile.

[snow1]

Perfetto, ti ringrazio molto!!