Eq differenziale
Buongiorno!
Non riesco a risolvere una tipologia di eq differenziali (non è che me la cavi granchè...). Non mi servono per nessun esame, però insomma, mi sembra una cosa abbastanza di base.
Prendendo un caso specifico:
[tex]$xu'(x) - 2u(x) = 8x^4$[/tex]
Mi potete dare almeno un input? Dovrebbe essere una semplice equazione a variabili separabili.
Non riesco a risolvere una tipologia di eq differenziali (non è che me la cavi granchè...). Non mi servono per nessun esame, però insomma, mi sembra una cosa abbastanza di base.
Prendendo un caso specifico:
[tex]$xu'(x) - 2u(x) = 8x^4$[/tex]
Mi potete dare almeno un input? Dovrebbe essere una semplice equazione a variabili separabili.
Risposte
E' molto più semplice di quello che credi!dividi i tuoi coEfficienti per x!!ricorda il coefficiente di $u'(x)$ deve sempre esser $1$!
Hai ragione, non ci ho pensato O.O
Ora però non vorrei sembrare stupido, ma...
A me viene $u = 4x^4$ (che è sicuramente una soluzione...) ma non le ho trovate tutte!
Infatti il problema pone anche u(1) = 0, cosa che ovviamente questa funzione non riesce a fare... solo che non credo che basti aggiungere una costante per sistemare le cose... o sì? se sì, dove?
Grazie
Ora però non vorrei sembrare stupido, ma...
A me viene $u = 4x^4$ (che è sicuramente una soluzione...) ma non le ho trovate tutte!
Infatti il problema pone anche u(1) = 0, cosa che ovviamente questa funzione non riesce a fare... solo che non credo che basti aggiungere una costante per sistemare le cose... o sì? se sì, dove?
Grazie
Se dividi per $x\ne 0$ puoi scrivere
[tex]$u'(x)-\frac{2}{x} u(x)=8x^3$[/tex]
Ora, detto $a(x)=-2/x$ abbiamo $A(x)=\int -2/x \dx=-2\log x=\log 1/x^2$. Considera allora la funzione $h(x)=u(x)\cdot e^{A(x)}$: la sua derivata è $h'(x)=u'(x) e^{A(x)}+u(x) e^{A(x)} A'(x)=e^{A(x)}(u'(x)-2/x u(x))$. Ne segue che la tua equazione differenziale risulta pari a
[tex]$e^{-A(x)} h'(x)=8x^3\ \Rightarrow\ h'(x)=8x^3 e^{A(x)}=8x^3\cdot\frac{1}{x^2}=8x$[/tex]
da cui, integrando ambo i membri tra $1$ e $x$ qualsiasi
[tex]$\int_1^x h'(s)\ ds=h(x)-h(1)=\int_1^x 8s\ ds=[4s^2]_1^x=4x^2-4$[/tex]
e ricordando la posizione fatta per la funzione $h(x)=\frac{u(x)}{x^2}$
[tex]$\frac{u(x)}{x^2}-u(1)=4(x^2-1)\ \Rightarrow\ u(x)=4x^2(x^2-1)$[/tex]
[tex]$u'(x)-\frac{2}{x} u(x)=8x^3$[/tex]
Ora, detto $a(x)=-2/x$ abbiamo $A(x)=\int -2/x \dx=-2\log x=\log 1/x^2$. Considera allora la funzione $h(x)=u(x)\cdot e^{A(x)}$: la sua derivata è $h'(x)=u'(x) e^{A(x)}+u(x) e^{A(x)} A'(x)=e^{A(x)}(u'(x)-2/x u(x))$. Ne segue che la tua equazione differenziale risulta pari a
[tex]$e^{-A(x)} h'(x)=8x^3\ \Rightarrow\ h'(x)=8x^3 e^{A(x)}=8x^3\cdot\frac{1}{x^2}=8x$[/tex]
da cui, integrando ambo i membri tra $1$ e $x$ qualsiasi
[tex]$\int_1^x h'(s)\ ds=h(x)-h(1)=\int_1^x 8s\ ds=[4s^2]_1^x=4x^2-4$[/tex]
e ricordando la posizione fatta per la funzione $h(x)=\frac{u(x)}{x^2}$
[tex]$\frac{u(x)}{x^2}-u(1)=4(x^2-1)\ \Rightarrow\ u(x)=4x^2(x^2-1)$[/tex]
Aaaaaaah sìììì
Ora ricordo! Questa è una banalissima equazione di primo ordine lineare e hai usato il metodo delle "costanti variabili" (così le chiamava il mio prof di analisi, so che ha un altro nome)
Diamine...
Scusate XD
Grazie mille!
Ora ricordo! Questa è una banalissima equazione di primo ordine lineare e hai usato il metodo delle "costanti variabili" (così le chiamava il mio prof di analisi, so che ha un altro nome)
Diamine...
Scusate XD
Grazie mille!
Variazione delle costanti.... comunque non ho usato quel metodo, ma quello del fattore integrante (la funzione esponenziale).
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