Eq Differenziale

[ING_93]

Ciao ragazzi avrei bisogno di una mano risolvere o per meglio dire finire di risolvere questa eq differenziale :

y(4) +7y(3)+9y(2)+63y(1) = 2sin(t)

Per cominciare so che devo risolvere eq associata :
z^4 +7z^3 +9z^2+63z = 0
raccolgo z ed ottengo la prima soluzione z = 0

z( z^3 + 7z^2 +9z +63) = 0

Con ruffini ottengo

z(z+7 )(z^2 + 9 ) = 0

per cui tutte le soluzioni sono : z= 0 , -7 , +3i , -3i

scrivo la soluzione in forma c2*e^0 + c1*e^-7x +c3cos3x +c4sin3x

a questo punto pero non so come andare avanti , qualche consiglio ???

[mdonatie]

Premetto che non ho controllato i tuoi risultati, perciò li darò per buoni, per continuare la risoluzione utilizzeremo il metodo di Lagrange per equazioni non omogenee:

Una volta ricavata la soluzione dell'omogenea associata:

$y=c_1e^(-7x)+c_2e^0+c_3cos(3x)+c_4sin(3x)$

bisogna ricavare la soluzione particolare $\bar y$ :
${(y=c_1e^(-7x)+c_2e^0+c_3cos3x+c_4sin3x+\bar y),(\bar y=\psi_1 y_1+\psi_2 y_2+\psi_3 y_3+\psi_4 y_4),(y_1=e^-7x),(y_2=e^0),(y_3=cos3x),(y_4=sin3x):}$

fatto ciò, imposteremo:
${(\psi_1^i y_1+\psi_2^i y_2+\psi_3^i y_3+\psi_4^i y_4),(\psi_1^i y_1^i+\psi_2^i y_2^i+\psi_3^i y_3^i+\psi_4^i y_4^i),(\psi_1^i y_1^(ii)+\psi_2^i y_2^(ii)+\psi_3^i y_3^(ii)+\psi_4^i y_4^(ii)),(\psi_1^i y_1^(iii)+\psi_2^i y_2^(iii)+\psi_3^i y_3^(iii)+\psi_4^i y_4^(iii)):}$

poiché il sistema è composto da n incognite in n equazioni, il sistema possiede una sola soluzione.

ottenute queste soluzioni, basta integrare $\psi_1^i , \psi_2^i , \psi_3^i , \psi_4^i$ , ricavare $\psi_1 , \psi_2 , \psi_3 , \psi_4$ e sostituendo in $\bar y$ ottenere la soluzione al problema