EQ DIFF + TAYLOR !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! :-)
Data l’equazione differenziale $y^{\prime} = (y − 1) / (sqrt(x))$. La condizione iniziale è $y(1) = 2$
1. determinare esplicitamente la soluzione del problema di Cauchy;
2. scriverne la formula di Taylor con punto iniziale $x_0 = 1$ al primo ordine.
---------------------------
Mia sol:
Soluzione costante $y=1$ che non soddisfa la condizione iniziale $y(1) = 2$.
Considerando $y != 0$:
$dy/dx = (y-1)/(sqrt(x))$ => $int (dy)/(y-1) = int (dx)/(sqrt(x))$ => $ln|y-1|=2*sqrt(x) + c$
$e^(ln|y-1|) = e^(2sqrt(x)+c)$
====> ? Qua posso togliere il valore assoluto ?
$y= e^(2sqrt(x)) * c$ ==>che è l'int gen
Imponiamo la condiz iniziale $y(1) = 2$:
$2 = e^(2sqrt(1)) * c$ => $c= 2/(e^2)$ quindi:
$y= 2e^(2(sqrt(x)-1)$ (PUNTO 1)
Punto 2:
$y^{\prime} = (y − 1) / (sqrt(x))$ con $y(1) = 2$ risulta che $y^{\prime}(1) = (2 − 1) / (sqrt(1))$$=1$
$x_0=1$, $y(1) = 2$, $y^{\prime}(1) = 1$ allora:
$f(x) = f(1) + f^{\prime}(x-1) + ...= 2 + 1(x-1) + ..$
$f(x) = 2 + (x-1) + R_1(x) $
Sapete dirmi, perfavore, se ho combinato qualche cosa di buono?
DANKE
1. determinare esplicitamente la soluzione del problema di Cauchy;
2. scriverne la formula di Taylor con punto iniziale $x_0 = 1$ al primo ordine.
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Mia sol:
Soluzione costante $y=1$ che non soddisfa la condizione iniziale $y(1) = 2$.
Considerando $y != 0$:
$dy/dx = (y-1)/(sqrt(x))$ => $int (dy)/(y-1) = int (dx)/(sqrt(x))$ => $ln|y-1|=2*sqrt(x) + c$
$e^(ln|y-1|) = e^(2sqrt(x)+c)$
====> ? Qua posso togliere il valore assoluto ?$y= e^(2sqrt(x)) * c$ ==>che è l'int gen
Imponiamo la condiz iniziale $y(1) = 2$:
$2 = e^(2sqrt(1)) * c$ => $c= 2/(e^2)$ quindi:
$y= 2e^(2(sqrt(x)-1)$ (PUNTO 1)
Punto 2:
$y^{\prime} = (y − 1) / (sqrt(x))$ con $y(1) = 2$ risulta che $y^{\prime}(1) = (2 − 1) / (sqrt(1))$$=1$
$x_0=1$, $y(1) = 2$, $y^{\prime}(1) = 1$ allora:
$f(x) = f(1) + f^{\prime}(x-1) + ...= 2 + 1(x-1) + ..$
$f(x) = 2 + (x-1) + R_1(x) $
Sapete dirmi, perfavore, se ho combinato qualche cosa di buono?
DANKE
Risposte
"Giova411":
$e^(ln|y-1|) = e^(2sqrt(x)+c)$
$y= e^(2sqrt(x)) * c$ ==>che è l'int gen
hanno rubato un 1
Punto 2:
$f(x) = f(1) + f^{\prime}(x-1) + ...= 2 + 1(x-1) + ..$
piccola correzione: $f(x) = f(1) + f^{\prime}(1)*(x-1) + ...= 2 + 1(x-1) + ..$
per il resto va bene
"luca.barletta":
hanno rubato un 1
Si c'é stavolta... (sui miei fogli però...) L'avevo dimenticato! Che distrattino...
Ottimo!
Non so cosa farei senza di te!
Ieri poi avevo fatto un ulteriore domanda (veloce) nell'altro post.. (non finiscono mai le domande del gio....)
L'hai vista per caso?
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=15731
in quel caso ricordati che y=y(x), quindi y si annulla quando si annulla la sol. dell'eq. diff
"Giova411":
Considerando $y != 0$:
questa posizione?
OOOOOK Vaaaa beeene!
Grazie 1000 + 1 = 1001 !
Grazie 1000 + 1 = 1001 !
"luca.barletta":
[quote="Giova411"]
Considerando $y != 0$:
questa posizione?[/quote]
Idem con patate...
Ho scritto male.... si vede che dormivo...
$y!=1$...
Non te ne sfugge una eh!!!??!!
Beato te!!! Io mi dimentico pure di andare a dormire...
Correggo le cose di sopra.. (Avevo sbagliato pure sui fogli invece! Avevi ragione Luca: l'hanno rubato quelli là..) 
Int generale: $y=e^(2x)*c + 1$
Int particolare: $y=e^(2x-1) + 1$
----------------------------------------------
Ma rivedendolo ho avuto dei dubbi:
A) Se la soluzione costante fosse soddisfatta, cioé $y(1) = 1$, cosa avrei dovuto fare? Andare anvanti lo stesso?
B) Il valore assoluto lo tolgo senza fare ulteriori considarazioni?
C) L'ultimissima cosa:
se fosse stato richiesto il 2 ordine? Potevo cavarmela? Son cavoli amari perché devo trovare la derivata seconda.
(Ho fatto un esercizio simile con Camillo ieri! Spero di averlo assimilato..)
Parto dalla derivata prima che derivo:
$y^('') = ( ( (y-1)/sqrt(x)) * sqrt(x) - (y-1) * 1/2 x^(-1/2))/ x$
$y^('') (1) = (2-1)-(2-1)*1/2=1-1/2=1/2 $
$f(x) = 2 + 1(x-1) + 1/2(x-1)^2+R_2(x)$
Int generale: $y=e^(2x)*c + 1$
Int particolare: $y=e^(2x-1) + 1$
----------------------------------------------
Ma rivedendolo ho avuto dei dubbi:
A) Se la soluzione costante fosse soddisfatta, cioé $y(1) = 1$, cosa avrei dovuto fare? Andare anvanti lo stesso?
B) Il valore assoluto lo tolgo senza fare ulteriori considarazioni?
C) L'ultimissima cosa:
se fosse stato richiesto il 2 ordine? Potevo cavarmela? Son cavoli amari perché devo trovare la derivata seconda.
(Ho fatto un esercizio simile con Camillo ieri! Spero di averlo assimilato..)
Parto dalla derivata prima che derivo:
$y^('') = ( ( (y-1)/sqrt(x)) * sqrt(x) - (y-1) * 1/2 x^(-1/2))/ x$
$y^('') (1) = (2-1)-(2-1)*1/2=1-1/2=1/2 $
$f(x) = 2 + 1(x-1) + 1/2(x-1)^2+R_2(x)$
C) Corretto !
A) in quel caso la sol sarebbe stata y=1 per ogni x>0
B) sapendo dalla condizione iniziale che y(1)=2 allora il modulo lo togli prendendo col segno + l'espressione dentro il modulo, fai attenzione al dominio della sol
C) sì, devi calcolare la derivata seconda tenendo presente che y=y(x)
B) sapendo dalla condizione iniziale che y(1)=2 allora il modulo lo togli prendendo col segno + l'espressione dentro il modulo, fai attenzione al dominio della sol
C) sì, devi calcolare la derivata seconda tenendo presente che y=y(x)
"Camillo":
C) Corretto !
Eh vai!
Grazie!
"luca.barletta":
A) in quel caso la sol sarebbe stata y=1 per ogni x>0
B) sapendo dalla condizione iniziale che y(1)=2 allora il modulo lo togli prendendo col segno + l'espressione dentro il modulo, fai attenzione al dominio della sol
C) sì, devi calcolare la derivata seconda tenendo presente che y=y(x)
Luca mi fai esultare quando rispondi così... (e capisco tutto!) ...Eppure sai i problemi del mio palazzo.... 
Grazie, come sempre...
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