Eq diff secondo ordine.. un suggerimento o altro metodo risolutivo?
ciao a tutti, mi trovo di fronte a questo esercizio, e vorrei un suggerimento oppure un altro metodo risolutivo piu' veloce. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo.
Trovare l'integrale generale della seguente equazione differenziale $ y''(x)+y(x)=(1)/(1+\cos^2 x) $
allora normalmente per risolvere un'equazione differenziale del secondo ordine utilizzo il metodo di somiglianza, ma in questo caso non credo proprio che si possa fare
non riesco neanche a spezzare quella frazione in 2 frazioni..
per cui o faccio il metodo di variazione delle costanti, che pero' e' una rottura di scatole, oppure non so.
Un altro suggerimento per fare meno conti?
ah ovviamente le soluzioni dell'equazione omogenea sono $ y''(x)+y(x)=0\to z^2+1=0\to e^(-i x), e^(ix) $
il mio problema e' trovare un metodo risolutivo alternativo per la soluzione particolare..
Trovare l'integrale generale della seguente equazione differenziale $ y''(x)+y(x)=(1)/(1+\cos^2 x) $
allora normalmente per risolvere un'equazione differenziale del secondo ordine utilizzo il metodo di somiglianza, ma in questo caso non credo proprio che si possa fare
non riesco neanche a spezzare quella frazione in 2 frazioni..
per cui o faccio il metodo di variazione delle costanti, che pero' e' una rottura di scatole, oppure non so.
Un altro suggerimento per fare meno conti?
ah ovviamente le soluzioni dell'equazione omogenea sono $ y''(x)+y(x)=0\to z^2+1=0\to e^(-i x), e^(ix) $
il mio problema e' trovare un metodo risolutivo alternativo per la soluzione particolare..
Risposte
In realtà, applicando il metodo di Lagrange vengono fuori un integrale immediato (del tipo dell'arcotangente) ed un secondo integrale un po' più complicato... Ma niente di che.
Per quanto riguarda le possibili riscritture del termine noto, esse si possono ottenere usando la formula di duplicazione del coseno; però non conducono a niente di sensatamente più semplice rispetto al Lagrange standard.
P.S.: Dato che la EDO è reale, ti conviene sostituire quegli orridi esponenziali complessi con \(\cos x\) e \(\sin x\).
Per quanto riguarda le possibili riscritture del termine noto, esse si possono ottenere usando la formula di duplicazione del coseno; però non conducono a niente di sensatamente più semplice rispetto al Lagrange standard.
P.S.: Dato che la EDO è reale, ti conviene sostituire quegli orridi esponenziali complessi con \(\cos x\) e \(\sin x\).
"gugo82":
In realtà, applicando il metodo di Lagrange vengono fuori un integrale immediato (del tipo dell'arcotangente) ed un secondo integrale un po' più complicato... Ma niente di che.
Per quanto riguarda le possibili riscritture del termine noto, esse si possono ottenere usando la formula di duplicazione del coseno; però non conducono a niente di sensatamente più semplice rispetto al Lagrange standard.
:
ma Lagrange non si usa per trovare le funzioni di max e minimo vincolati su un insieme.
come si usa con le equazioni differenziali?
Per me ogni cosa che dicono nuova, e se e' una strada piu' veloce e semplice..vorrei impararla
dammi un indizio gugo82, il metodo di Lagrange con le equazioni differenziali non l'ho mai visto da me ad esercitazione
"gugo82":
P.S.: Dato che la EDO è reale, ti conviene sostituire quegli orridi esponenziali complessi con \(\cos x\) e \(\sin x\).
da me, hanno fatto imparare che trovate le soluzioni dell'eq omogenea le soluzioni le scrivo
$ y(x)=c_1 e^(-ix)+c_2 e^(i x) $
tu le sostituiresti con il coseno e seno?
Il "metodo della variazione delle costanti" è stato inventato, come parecchie altre cosette simpatiche, dal caro Giuseppe Luigi Lagrangia, in arte Lagrange. Quindi, quando si parla di metodo di Lagrange riguardo le EDO si intende proprio il "metodo della variazione delle costanti".
Per le soluzioni... Mah! A me non viene affatto naturale pensare che la soluzione di un problema reale sia una funzione complessa.
Ed infatti non c'è bisogno di tirare in ballo esponenziali complessi per scrivere le soluzioni di una EDO lineare a coefficienti costanti, nemmeno quando il polinomio caratteristico ha radici complesse coniugate. Invero, si dimostra che se \(\lambda = \alpha + \imath\ \beta\) e \(\bar{\lambda} = \alpha -\imath\ \beta\) sono radici complesse coniugate del polinomio caratteristico associato ad una EDO omogenea, le funzioni:
\[
e^{\alpha x}\ \cos (\beta x) \quad \text{e}\quad e^{\alpha x}\ \sin (\beta x)
\]
possono essere usate come generatori dello spazio delle soluzioni di tale EDO al posto della coppia di esponenziali complessi coniugati \(e^{\lambda x}\) e \(e^{\bar{\lambda} x}\).
Forse chi vi insegna queste cose si occupa di Analisi Complessa o di EDO nel campo analitico?
Per le soluzioni... Mah! A me non viene affatto naturale pensare che la soluzione di un problema reale sia una funzione complessa.
Ed infatti non c'è bisogno di tirare in ballo esponenziali complessi per scrivere le soluzioni di una EDO lineare a coefficienti costanti, nemmeno quando il polinomio caratteristico ha radici complesse coniugate. Invero, si dimostra che se \(\lambda = \alpha + \imath\ \beta\) e \(\bar{\lambda} = \alpha -\imath\ \beta\) sono radici complesse coniugate del polinomio caratteristico associato ad una EDO omogenea, le funzioni:
\[
e^{\alpha x}\ \cos (\beta x) \quad \text{e}\quad e^{\alpha x}\ \sin (\beta x)
\]
possono essere usate come generatori dello spazio delle soluzioni di tale EDO al posto della coppia di esponenziali complessi coniugati \(e^{\lambda x}\) e \(e^{\bar{\lambda} x}\).
Forse chi vi insegna queste cose si occupa di Analisi Complessa o di EDO nel campo analitico?
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