Eq. Diff. del II° ordine a coefficienti variabili
Studiando le eq. diff., mi sono imbattuto in questa categoria.
Sul "Marcellini Sbordone" non ho trovato molte informazioni, mentre nel "Manuale delle formule matematiche" (del Bartsch) sono riportate alcune considerazioni.
Quella più significativa riguarda la soluzione di eq.diff. OMOGENEE a coefficienti variabili, che prevede di trovare un integrale particolare ($ y_P $ ) della stessa per poi attuare la sostituzione $y=z*y_P $, in modo da far "sparire" il termine in y e avere un'eq.diff. del I° ordine risolviblie con il metodo della separazione delle variabili. Ho provato, ed effettivamente funziona...il problema è trovare un integrale particolare $ y_P $.
Ad esempio, nel manuale è riportata la seguente eq. diff.:
$ x^2(ln|x|-1)y''-xy'+y=0 $
e viene proposto $ y_P=x $ . Ok, con un pò d'occhio ci si poteva anche arrivare abbastanza facilmente, ma esiste un qualche metodo meno "intuitivo" per trovare un $ y_P $ ?
Sul "Marcellini Sbordone" non ho trovato molte informazioni, mentre nel "Manuale delle formule matematiche" (del Bartsch) sono riportate alcune considerazioni.
Quella più significativa riguarda la soluzione di eq.diff. OMOGENEE a coefficienti variabili, che prevede di trovare un integrale particolare ($ y_P $ ) della stessa per poi attuare la sostituzione $y=z*y_P $, in modo da far "sparire" il termine in y e avere un'eq.diff. del I° ordine risolviblie con il metodo della separazione delle variabili. Ho provato, ed effettivamente funziona...il problema è trovare un integrale particolare $ y_P $.
Ad esempio, nel manuale è riportata la seguente eq. diff.:
$ x^2(ln|x|-1)y''-xy'+y=0 $
e viene proposto $ y_P=x $ . Ok, con un pò d'occhio ci si poteva anche arrivare abbastanza facilmente, ma esiste un qualche metodo meno "intuitivo" per trovare un $ y_P $ ?
Risposte
Si può solo andare per tentativi (leggasi: fortuna)?
In generale sì.
Chiaramente uno deve far in modo di far scomparire la roba più brutta che ha nell'equazione, perciò in questo caso si è scelta una funzione che avesse derivata seconda identicamente nulla... Ha funzionato e siamo tutti contenti.
Chiaramente uno deve far in modo di far scomparire la roba più brutta che ha nell'equazione, perciò in questo caso si è scelta una funzione che avesse derivata seconda identicamente nulla... Ha funzionato e siamo tutti contenti.
Chissà perchè solo negli esercizi guida le soluzioni si trovano in modo facile?!
Studiando la trasformata di Laplace mi è venuto questo dubbio: se con la trasformata posso risolvere, ad esempio, le equazioni differenziali del II° ordine a coefficienti costanti, sarei tentato di dire che posso risolvere anche le equazioni differenziali del II° ordine a coefficienti variabili (trasformando quindi anche questi coefficienti).
PS: nel caso non sia possibile utilizzare la trasformata, sapreste anche spiegarmene il perchè?
PS: nel caso non sia possibile utilizzare la trasformata, sapreste anche spiegarmene il perchè?
Puoi usarla tranquillamente anche per le equazioni a coefficienti variabili: l'unico problema è come trasformi una cosa del tipo $a(t)\cdot y'$ (ma puoi considerare anche altre derivate). Infatti se hai un prodotto di funzioni si ha la seguente "regola di convoluzione": dette [tex]$A(s)=\mathcal{L}(a(t))(s),\ Y(s)=\mathcal{L}(y(t))(s)$[/tex]
[tex]$\mathcal{L}(a(t)\cdot y'(t))(s)=\int_0^s A(\tau-s) [\tau Y(\tau)-y(0)]\ d\tau$[/tex]
che come vedi può risultare una cosa mostruosa.
[tex]$\mathcal{L}(a(t)\cdot y'(t))(s)=\int_0^s A(\tau-s) [\tau Y(\tau)-y(0)]\ d\tau$[/tex]
che come vedi può risultare una cosa mostruosa.
E' anche peggio di quanto pensassi...
Giusto per vedere se ho capito come funziona, provo con questa (semplice?) convoluzione: $ t*y' $
Se interpreto bene, quella che tu chiami A(s) è la trasformata di a(t)=t, per cui ho: $ A(s)=L(t)=1/s $
mentre per Y(s) ho: $ Y(s)=L(y')=sY $
A questo punto dovrei avere il seguente integrale (supponendo per semplicità che y(0)=0):
$ int_(0)^(s) (1/(tau-s))tauYd(tau) $
anche se non ne sono molto convinto (non so come comportarmi con il $ tauY(tau) $ )
PS: nel caso sia giusto, come lo integro?
Giusto per vedere se ho capito come funziona, provo con questa (semplice?) convoluzione: $ t*y' $
Se interpreto bene, quella che tu chiami A(s) è la trasformata di a(t)=t, per cui ho: $ A(s)=L(t)=1/s $
mentre per Y(s) ho: $ Y(s)=L(y')=sY $
A questo punto dovrei avere il seguente integrale (supponendo per semplicità che y(0)=0):
$ int_(0)^(s) (1/(tau-s))tauYd(tau) $
anche se non ne sono molto convinto (non so come comportarmi con il $ tauY(tau) $ )
PS: nel caso sia giusto, come lo integro?
E' quello il problema: non lo integri! Se tu lo potessi fare banalmente, riusciresti a tirare fuori la soluzione come nel caso dei coefficienti costanti.
Se tu lo potessi fare banalmente, riusciresti a tirare fuori la soluzione come nel caso dei coefficienti costanti.
Ma se non può essere integrato, allora ha senso tentare di risolvere le eq.diff a coefficienti variabili con la trasformata di Laplace?
Secondo te? Tu comunque mi hai chiesto se è ua cosa che si può fare, e la risposta è sì. Se invece mi avessi chiesto: è più semplice risolvere così? Ti avrei risposto: ASSOLUTAMENTE NO! (perdonate il maiuscolo, è per enfatizzare).
Tu comunque mi hai chiesto se è ua cosa che si può fare, e la risposta è sì. Se invece mi avessi chiesto: è più semplice risolvere così? Ti avrei risposto: ASSOLUTAMENTE NO! (perdonate il maiuscolo, è per enfatizzare).
Capito, grazie per il chiarimento 
Prego, figurati. Comunque, un metodo per non procedere a tentoni è quello di risolvere l'equazione per serie in questi casi. Se non sai come funziona, magari te lo accenno velocemente in questi giorni.
Molto volentieri^^
Intanto darò un'occhiata on-line per vedere se trovo qualche dispensa.
Intanto darò un'occhiata on-line per vedere se trovo qualche dispensa.
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