Eq. diff. a variabili separabili

[mobley]

Non riesco a togliere la $x$ dal primo membro della seguente equazione differenziale:

$y'(x)=1/xy(x)+1$

Qualcuno saprebbe darmi un indizio?

[mobley]

Provando a risolverla per variabili separabili arrivo a scrivere che $1/(y+x)dy=1/xdx$, quindi rimane sempre un termine in $x$ da un lato o dall'altro dell'equazione. Applicando il metodo della variazione delle costanti si ha $y(x)=x(c_1+logx)$ ma stavo cercando di vedere se potesse essere possibile raggiungere lo stesso risultato in modo diverso.

[pilloeffe]

"mobley":Qualcuno saprebbe darmi un indizio?

Beh, l'indizio è semplice, si tratta di una EDO (Equazione Differenziale Ordinaria o ODE in inglese) lineare del primo ordine. Senza troppi sforzi si può trovare la soluzione, che è la seguente:

$y(x) = x(c_1 + ln x) $

[dissonance]

"mobley":$y(x)=x(c_1+logx)$

Questo è giusto (naturalmente per \(x>0\)). Infatti
\[
y'=c_1+\log x + 1=\frac{y}{x}+1.\]
Con qualsiasi metodo, dovrai trovare sempre questo stesso risultato.

[mobley]

Vi ringrazio per la risposte ma nessuno di voi ha centrato il punto di ciò che sto chiedendo. Supponiamo di non poter applicare il metodo della variazione delle costanti: come separo correttamente le variabili?

[mobley]

"arnett":Ma perché vuoi separarla per forza?
Per integrarla per separazione dovresti prima scriverla in forma
$y'(x)=f(y(x))g(x)$
ma mi sembra che non si riesca in questo caso.

Ecco, questo chiedevo.
Stavo cercando di separarla perchè, come del resto dice giustamente dissonance, indipendentemente dal metodo utilizzato dovrebbe essere sempre possibile giungere allo stesso risultato.

[pilloeffe]

"mobley":Provando a risolverla per variabili separabili arrivo a scrivere che [...]

Ti faccio cortesemente notare che così facendo non hai separato le variabili...

"mobley":Vi ringrazio per la risposte ma nessuno di voi ha centrato il punto di ciò che sto chiedendo.

"mobley":Stavo cercando di separarla perchè, come del resto dice giustamente dissonance, indipendentemente dal metodo utilizzato dovrebbe essere sempre possibile giungere allo stesso risultato.

Pur essendo senz'altro corretto ciò che ha scritto dissonance, non è detto che un'equazione differenziale possa essere ricondotta alla forma a variabili separabili, come d'altronde ti ha scritto giustamente anche arnett.
Il possibile per rispondere lo stiamo facendo, l'impossibile cercheremo di farlo, per i miracoli ci stiamo attrezzando...

[Fioravante Patrone1]

"pilloeffe":
...
per i miracoli ci stiamo attrezzando...

Vorrei cogliere 2 piccioni con questo post.
1. dimostrare a gugo82 che posso parlare di EDVS senza menzionare ciò che lui sa
2. dimostrare che mobley sta effettivamente chiedendo un miracolo. Ovvero, dimostarare che l'equazione data NON è a variabili separabili

Premessa.
Più che giustamente mobley si pone il problema: "io non riesco a separare le variabili, ma magari è solo perché io non ne sono capace".
In realtà, come detto sopra, non è che lui non ci riesce. Non si può.

Vediamo i (facili!) conti necessari.
Abbiamo che il "secondo membro" è $f(x,y) = y/x+1$
Se fosse a variabili separabili, esisterebbero due funzioni reali di UNA variabile reale, $a$ e $b$, t.c.:
$f(x,y)=a(x)b(y)$ per ogni $x$ ed $y$ per cui $(x,y)$ sta nel dominio di $f$.

Prendo $y=5$ e ottengo
$f(x,5) = a(x)b(5)$

Prendo $y=47$ e ottengo
$f(x,47) = a(x)b(47)$

Ovviamente non ho la più pallida idea di quanto potrebbe valere $b(5)$ né $b(47)$. Ma vedo che:

$f(x,47)$ è PROPORZIONALE a $f(x,5)$

Ovvero $f(x,47)= f(x,5) \cdot \frac{b(47)}{b(5)}$


Bon, nel nostro caso:
$f(x,47)=47/x+1$, e basta disegnare il grafico di questa funzione della sola variabile $x$ per vedere che non è certo proporzionale a $f(x,y)=5/x+1$

Ovviamente non c'è nessun bisogno di disegnare il grafico per provare la non proporzionalità, ma lascio a chi vuole i pochi conticini necessari.

Ed ora, come il mio illustre predecessore, torno al lavoro nei campi

[gugo82]

"Fioravante Patrone":
1. dimostrare a gugo82 che posso parlare di EDVS senza menzionare ciò che lui sa

E ci sei riuscito, anche senza menzionare ciò che tu sai che io so che tu sai.

Post molto carino, FP, complimenti.

[Fioravante Patrone1]

"gugo82":
Post molto carino, FP, complimenti.

Urca! Grazie