Eq diff 2° ord lin coeff cost dubbio sull'int particolare
Ciao a tutti. Ho un piccolo dubbio davvero molto stupido e banale sulla ricerca dell'integrale particolare nelle equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti. Io so che se ho una roba del tipo
$y'' + py' + qy = p_n(x)e^alphax$
dove $p_n(x)$ è il classico polinomio di grado n e $alpha$ e la solita costante
a seconda del fatto che $alpha$ sia una soluzione o meno dell'equazione caratteristica cambia il tipo di integrale particolare y segnato che si deve trovare.
-se $alpha$ non è soluzione dell'equazione caratteristica y segnato = $P(x)e^alphax$
-se $alpha$ è soluzione dell'equazione caratteristica
y segnato = $P(x)xe^alphax$
- se $alpha$ è soluzione dell'equazione caratteristica
y segnato = $P(x)x^2e^alphax$
ora il mio dubbio è: come faccio a capire se $alpha$ è soluzione doppia o meno dell'equazione caratteristica?
$y'' + py' + qy = p_n(x)e^alphax$
dove $p_n(x)$ è il classico polinomio di grado n e $alpha$ e la solita costante
a seconda del fatto che $alpha$ sia una soluzione o meno dell'equazione caratteristica cambia il tipo di integrale particolare y segnato che si deve trovare.
-se $alpha$ non è soluzione dell'equazione caratteristica y segnato = $P(x)e^alphax$
-se $alpha$ è soluzione dell'equazione caratteristica
y segnato = $P(x)xe^alphax$
- se $alpha$ è soluzione dell'equazione caratteristica
y segnato = $P(x)x^2e^alphax$
ora il mio dubbio è: come faccio a capire se $alpha$ è soluzione doppia o meno dell'equazione caratteristica?
Risposte
"magliocurioso":
$y'' + py' + qy = p_n(x)e^alphax$
dove $p_n(x)$ è il classico polinomio di grado n e $alpha$ e la solita costante
Non per fare il pignolo, ma $y'' + py' + qy = p_n(x)e^(alphax)$ suppongo...
Comunque, è semplice, basta che osservi il polinomio caratteristico $lambda^2+plambda+q$ e vedi se $alpha$ è radice di tale polinomio (con molteplicità 1 o 2) o meno. E applichi i vari casi...
Fine. Ciao
Ecco, sono stato impreciso e meno specifico nella mia domanda: come faccio a capire quando devo scegliere fra molteplicità 1 o 2?
Se ad esempio le soluzioni dell'equazione caratteristica valgono $+- alpha$ devo scegliere molteplicità 2?
Se invece le soluzioni dell'equazione caratteristica sono $alpha$ e $beta$ scelgo molteplicità 1?
Se invece le due soluzioni dell'equazione caratteristica coincidono in unico valore $alpha$ che molteplicità scelgo?
Se ad esempio le soluzioni dell'equazione caratteristica valgono $+- alpha$ devo scegliere molteplicità 2?
Se invece le soluzioni dell'equazione caratteristica sono $alpha$ e $beta$ scelgo molteplicità 1?
Se invece le due soluzioni dell'equazione caratteristica coincidono in unico valore $alpha$ che molteplicità scelgo?
"magliocurioso":
Ecco, sono stato impreciso e meno specifico nella mia domanda: come faccio a capire quando devo scegliere fra molteplicità 1 o 2?
Se ad esempio le soluzioni dell'equazione caratteristica valgono $+- alpha$ devo scegliere molteplicità 2?
Se invece le soluzioni dell'equazione caratteristica sono $alpha$ e $beta$ scelgo molteplicità 1?
Fanno parte dello stesso caso, essendo radici distinte, per cui ognuna delle due soluzioni ha molteplicità uno.
Se invece le due soluzioni dell'equazione caratteristica coincidono in unico valore $alpha$ che molteplicità scelgo?
molteplicità due, perché sono radici coincidenti... e penso sia l'unico caso che ti può capitare per questo tipo di equazioni differenziali di ordine 2...
Il metodo risolutivo è generalizzabile alle equazioni differenziali di questo tipo di ordine n, la cui omogenea associata ha come equazioni caratteristica un polinomio di grado n che può avere soluzioni di molteplicità tripla, quadrupla,..., n-pla.
Già è proprio così...
Nel caso poi di un polinomio di secondo grado è tutto immediato.
Infatti, basta osservare il polinomio $lambda^2+plambda+q$: mediante il calcolo del discriminante $Delta$, si può capire se questo polinomio ha due radici reali distinte ($Delta>0$), una radice reale con molteplicità 2 ($Delta=0$) o nessuna radice reale, ma due complesse coniugate ($Delta<0$).
Poi a quel punto guardi se $alpha$ è una radice o meno del polinomio, avendo già discusso la sua eventuale molteplicità.
Tutto qui.
Ciao.
Nel caso poi di un polinomio di secondo grado è tutto immediato.
Infatti, basta osservare il polinomio $lambda^2+plambda+q$: mediante il calcolo del discriminante $Delta$, si può capire se questo polinomio ha due radici reali distinte ($Delta>0$), una radice reale con molteplicità 2 ($Delta=0$) o nessuna radice reale, ma due complesse coniugate ($Delta<0$).
Poi a quel punto guardi se $alpha$ è una radice o meno del polinomio, avendo già discusso la sua eventuale molteplicità.
Tutto qui.
Ciao.
OK GRAZIE. ho chiarito il dubbio 
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