Eq complessa, complessa.

[nitidoz]

Ragazzi ho un "piccolo" problema con un esercizio sui numeri complessi.
Dovendo risolvere la seguente eq. complessa
\(\displaystyle{(z + i)^3} = \frac{{1 - i}}{{1 + i}}\)
essendo\(\displaystyle z \in \,\mathbb{C}\) ed \(\displaystyle z = a + ib \) e diventa

\(\displaystyle {(a + ib)^3} = \frac{{1 - i}}{{1 + i}} \)

\(\displaystyle {\left[ {a + \left( {1 + b} \right)i} \right]^3} = - i \)


-Andando avanti con il cubo del binomio e risolvendola in maniera algebrica è praticamente un suicidio troppi calcoli e non sono riuscito a trovare una forma dove è stato possibile annullare la parte reale e la parte immaginaria


-Mentre andando avanti con la forma trigonometrica ho difficoltà a calcolarmi l'angolo\(\displaystyle \[\theta \] \) poiché sono inserite due incognite.
\(\displaystyle \theta = \frac{{sign(b + 1) \cdot \pi }}{2} \)

Ho visto degli esempi e mi dicono di utilizzare il "Metodo del completamento del quadrato".

[@melia]

Arrivati a questo punto \(\displaystyle {\left[ {a + \left( {1 + b} \right)i} \right]^3} = - i \) basta calcolare le radici cubiche di $-i$ ed è praticamente fatta.

[nitidoz]

ma perché non ci ho pensato prima!!!! grazie melia lo faccio subito...

[gugo82]

Ma infatti hai:
\[
z=-\imath + \sqrt[3]{-\imath}
\]
e ti basta calcolare le tre determinazioni della radice per terminare.