Eq. complessa 4 grado

[alessioben]

Ciao a tutti,
devo risolvere questa equazione complessa di 4° grado.
$ (z+i)^4=(1-2i)^4 $

Sviluppando le due espressioni come differenza di quadrati ho trovato le soluzioni
$ z= -1+i $ e $ z=1-3i $
ma non capisco come trovare le altre.

Chiedo un suggerimento... grazie mille!

[Mephlip]

Suggerimento: continua a ragionare così, ma notando che $-1=i^2$.

[alessioben]

Bè fin lì lo so ma non so come procedere

[Mephlip]

Hai che $(z+i)^2+(1-2i)^2=(z+i)^2-i^2(1-2i)^2$.

[alessioben]

Ho capito grazie! Alla fine ho ricavato attraverso due eq. di 2° grado le 4 soluzioni

[pilloeffe]

Più in generale, posto per comodità $w := z + i $ e $a := 1 - 2i $ l'equazione diventa la seguente:

$w^4 = a^4 $

$w^4 - a^4 = 0 $

$(w^2 - a^2)(w^2 + a^2) = 0 $

$(w - a)(w + a)(w^2 + a^2) = 0 $

La somma di quadrati non è scomponibile in $\RR $, ma lo è in $\CC $:

$(w - a)(w + a)(w - ia)(w + ia) = 0 $

Pertanto si hanno le $4$ soluzioni seguenti:

$w_1 = a \implies z_1 = a - i = 1 - 3i $

$w_2 = - a \implies z_2 = - a - i = - 1 + i $

$w_3 = ia \implies z_3 = ia - i = i + 2 - i = 2 $ (l'unica soluzione reale)

$w_4 = - ia \implies z_4 = - ia - i = - i - 2 - i = - 2 - 2i $