Ennesima serie che mi lascia senza idee

[iMax21]

Io e le serie non siamo fatti per convivere, poco ma sicuro.
Oggi ne ho svolte un po' ma su questa non so come procedere:

$\sum_{n=0}^infty (e^((n)/((n^2)+1))-1)/(n^(1/3)+2)$

Qualsiasi idea o suggerimento é apprezzatissimo come sempre, ringrazio in anticipo!

[Plepp]

Dai, quel $e^{"roba infinitesima"}-1$ non ti dice proprio nulla?

[iMax21]

No sigh

[Plepp]

Conosci il criterio del confronto asintotico?

[iMax21]

Si ma non so bene come applicarlo in questo caso: so che il numeratore converge a zero se faccio il limite ad infinito e il limite vale zero, ma per trarre conclusioni mi servirebbe sapere cosa fa il denominatore o sbaglio?

[asker993]

tu sai che se la serie converge ad infinito lo fa solo se il termine generale della serie è $<1/n$ ovvero con esponente maggiore di 1...ora, dopo che applichi il criterio del confronto asintotico concludi facilmente...

[iMax21]

scusate ma mi sto perdendo:
il numeratore non tende a $ 0 $ quando $ n-> infty $ ? ergo non ho $ lim_{n \to \infty} f(x) = 0 $ ?

[Plepp]

Sia $\sum_{n=0}^\infty a_n$ una serie numerica a termini positivi ($a_n\ge 0$, $\forall n\in NN$), e sia $(b_n)_{n\in NN}$ una successione di numeri reali tale che
\[a_n\sim b_n\qquad \text{ovvero}\qquad \lim_{n\to \infty}\dfrac{a_n}{b_n}\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\]
Allora le due serie
\[\sum_{n=0}^\infty a_n\qquad \sum_{n=0}^\infty b_n\]
hanno lo stesso carattere.

La tua serie, cioè
\[\sum_{n=0}^\infty \underbrace{\dfrac{\exp\left(\frac{n}{n^2+1}\right)-1}{n^{1/3}+2}}_{=:a_n}\tag{1}\]
è a termini positivi (perché?). Sappiamo bene che
\[\lim_{n\to +\infty}\dfrac{\exp\left(\frac{n}{n^2+1}\right)-1}{\frac{n}{n^2+1}}=1\]
Di conseguenza, se
\[b_n:=\dfrac{\frac{n}{n^2+1}}{n^{1/3}+2}\]
si ha che $a_n"/"b_n\to 1$, quindi la serie $(1)$ ha lo stesso carattere di
\[\sum_{n=0}^\infty b_n\]
che puoi studiare senza problemi. Non contenti, osserviamo pure che
\[b_n\sim \dfrac{\frac{n}{n^2}}{n^{1/3}}=\dfrac{1}{n^{4/3}}\]
quindi, in definitiva, studiare la $(1)$ si riduce a studiare
\[\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n^{4/3}}\]
sulla quale non dovresti avere alcun dubbio

[iMax21]

grazie mille ora mi é chiarissimo! Non ci sarei mai arrivato da solo grazie ancora!