Elevare al quadrato ambo i membri.
Ciao,
Come si spiega che elevando ambo i membri (positivi) di una disuguaglianza si ottiene una disuguaglianza equivalente (cioè con lo stesso insieme soluzione) a quella di partenza? Non si moltiplica per uno stesso numero...
Grazie.
Come si spiega che elevando ambo i membri (positivi) di una disuguaglianza si ottiene una disuguaglianza equivalente (cioè con lo stesso insieme soluzione) a quella di partenza? Non si moltiplica per uno stesso numero...
Grazie.
Risposte
scrivi un esempio?
Prima di tutto, elevato a cosa? Poi, hai appena aperto un thread simile ... 
Se $a>b>0$ allora $a*b>b*b>0$ e $a*a>a*b>0$ quindi $a^2>b^2>0$
Se $a>b>0$ allora $a*b>b*b>0$ e $a*a>a*b>0$ quindi $a^2>b^2>0$
$0<=x<=y => x^2<=y^2$?
Beh:
$x<=y$
$xy<=y^2$
Analogamente
$x^2<=xy$
E combinandole $x^2<=y^2$
La storia dell'insieme delle soluzioni che non varia fa acqua da tutte le parti comunque
(Ops mi hanno preceduto)
Beh:
$x<=y$
$xy<=y^2$
Analogamente
$x^2<=xy$
E combinandole $x^2<=y^2$
La storia dell'insieme delle soluzioni che non varia fa acqua da tutte le parti comunque
(Ops mi hanno preceduto)
"Ernesto01":
La storia dell'insieme delle soluzioni che non varia fa acqua da tutte le parti comunque
(Ops mi hanno preceduto)
In che senso?
Comunque non il problema non era capire il prodotto membro a membro, era proprio l'equivalenza delle due disuguaglianze. Forse non mi è chiaro il concetto di disuguaglianze equivalenti.
È la stessa cosa delle equazioni: quando due equazioni sono equivalenti?
Allora devi dimostrare questo:
$x,y>=0$
$x<=y <=> x^2<=y^2$
$x,y>=0$
$x<=y <=> x^2<=y^2$
"axpgn":
È la stessa cosa delle equazioni: quando due equazioni sono equivalenti?
Credo che il mio problema sia proprio che non ho chiara la risposta a questa domanda
.Due equazioni sono equivalenti quando hanno le stesse soluzioni, giusto?
Vorrei avere chiaro come, "manipolando" equazioni/disequazioni,posso essere certo di ottenere equazioni/disequazioni equivalenti a quella di partenza.
@Ernesto:
Forse è meglio generalizzare il problema, come ho scritto in questo post e come penso abbia capito axpgn. Comunque hai capito quello che volevo dimostrare nel primo post.
Grazie.
Sono domande che fa molto bene porsi. Bisogna ragionare a lungo su queste cose, quanto più sono elementari tanto più sono importanti.
"AnalisiZero":
Due equazioni sono equivalenti quando hanno le stesse soluzioni, giusto?
Giusto.
Le due "manipolazioni" principali che puoi effettuare sulle equazioni sono l'aggiunta dello stesso numero ad entrambi i membri e la moltiplicazione per uno stesso numero diverso da zero, sempre per entrambi i membri.
Per le disequazioni è lo stesso con l'avvertenza che se moltiplichi per un numero negativo devi invertire il verso della disequazione.
"axpgn":
[quote="AnalisiZero"]Due equazioni sono equivalenti quando hanno le stesse soluzioni, giusto?
Giusto.
Le due "manipolazioni" principali che puoi effettuare sulle equazioni sono l'aggiunta dello stesso numero ad entrambi i membri e la moltiplicazione per uno stesso numero diverso da zero, sempre per entrambi i membri.
Per le disequazioni è lo stesso con l'avvertenza che se moltiplichi per un numero negativo devi invertire il verso della disequazione.[/quote]
Bene.
È per questo che mi è venuto il dubbio nella disequazione del primo post. Cioè nel passare da $|a|<=|b|$ a $a^2<=b^2$ sto moltiplicando ambo i membri per quantità che in generale sono diverse, quindi non mi convinco che sia una "mossa consentita".
Grazie.
Eh, no, allora ci prendi in giro ... non hai scritto quello ... forse ti sfugge che in matematica la precisione è importante, essere approssimativi non si può ... e la dimostrazione di quello che hai chiesto inizialmente te l'ho già scritta ...
"axpgn":
Eh, no, allora ci prendi in giro ... non hai scritto quello ... forse ti sfugge che in matematica la precisione è importante, essere approssimativi non si può ... e la dimostrazione di quello che hai chiesto inizialmente te l'ho già scritta ...
Si scusate. Si passa da una disuguaglianza all'altra facendo il prodotto membro a membro di due disuguaglianza identiche.
Però ciò che si ottiene è che a partire dalla prima disequazione, se è vera la prima è vera la seconda. Questa "mossa" del prodotto membro a membro quindi dice che la seconda è vera, non equivalente alla prima.
Io non ho capito cosa vuoi dire ... spiegati meglio, magari mettendo un esempio concreto ...
"axpgn":
Io non ho capito cosa vuoi dire ... spiegati meglio, magari mettendo un esempio concreto ...
Ci provo.
$|x|<=1 leftrightarrow x^2<=1$. Quindi $-1<=x<=1$ è soluzione della seconda disuguaglianza, e poiché quest'ultima è equivalente alla prima è soluzione anche della prima.
Anche se secondo me è meglio restare sul generale.
Forse dovrei pensarla in questo modo:
Quando la prima disuguaglianza è vera è vera la seconda, e viceversa, per questo hanno le stesse soluzioni, va bene come ragionamento? Sarebbe un ragionamento di logica più che altro.
"AnalisiZero":
Anche se secondo me è meglio restare sul generale..
Che significa?
"AnalisiZero":
Quando la prima disuguaglianza è vera è vera la seconda, e viceversa, per questo hanno le stesse soluzioni, va bene come ragionamento?
SE DIMOSTRI che sono equivalenti ALLORA hanno le stesse soluzioni ... non è quello che hai scritto ...
"axpgn":
Prima di tutto, elevato a cosa? Poi, hai appena aperto un thread simile ...
Se $a>b>0$ allora $a*b>b*b>0$ e $a*a>a*b>0$ quindi $a^2>b^2>0$
Quindi qui, quando hai scritto "se...allora..." intendevi proprio dimostrare l'equivalenza di quelle due disuguaglianze?
Ipotesi:
$a>b>0$
Tesi:
$a^2>b^2$
Dimostrazione:
$a>b>0\ ->\ a*b>b*b>0$ e $a>b>0\ ->\ a*a>a*b>0$ quindi $a*a>b*b>0\ ->\ a^2>b^2$
"axpgn":
:roll:
Ipotesi:
$a>b>0$
Tesi:
$a^2>b^2$
Dimostrazione:
$a>b>0\ ->\ a*b>b*b>0$ e $a>b>0\ ->\ a*a>a*b>0$ quindi $a*a>b*b>0\ ->\ a^2>b^2$
Ora sto capendo qualcosa.
Ma c'è ancora un cosa che non mi torna.
Come si dimostra il viceversa? Ovvero come dal prodotto membro a membro si arriva alle singole disuguaglianze. Perché se le soluzioni sono le stesse deve valere anche il contrario no?
Basta leggere la dimostrazione da dx a sx ... però c'è da fare una precisazione: nell'espressione che ho scritto ho unito, per comodità, due ipotesi in una e cioè $a>b$ e $a>0 ^^ b>0$; il viceversa è da intendersi con ipotesi $a^2>b^2$ e $a>0 ^^ b>0$ mentre la tesi è $a>b$
"axpgn":
Basta leggere la dimostrazione da dx a sx ... però c'è da fare una precisazione: nell'espressione che ho scritto ho unito, per comodità, due ipotesi in una e cioè $a>b$ e $a>0 ^^ b>0$; il viceversa è da intendersi con ipotesi $a^2>b^2$ e $a>0 ^^ b>0$ mentre la tesi è $a>b$
No, non riesco a fare il ragionamento al contrario
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo